Теоремы существования и аппроксимации в некоммутатиивном геометрическом анализе

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
Страниц:
332
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

§ 0.1. Краткая аннотация

В настоящей работе на областях U С рассматриваются базисные векторные поля {-Х^}^!,.^ е C°(U), т. е. rank (Xi,.., XN)(x) = N Vx e U, sup ||Х (ж)|| < Си = const, xGU градуированные формально степенями, т. е. каждому векторному полю Xi присвоено некоторое натуральное число deg Хг, принадлежащее множеству {1,., iV}, Т = max deg Xi. В случае, когда

Сг-гладкие базисные векторные поля {^}г-1,. мдг, г > 1, удовлетворяют в U следующей таблице коммутаторов

С*хк, Cij е СГ~1(С/), deg Хк

Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы метрические функции вида drp (u, v) = maxi=1). Mjv {l^ildesxt j, (N v = exp (JD a-iXt)(u), где 1 < ipi < ¦ ¦ • < фт, являлись квазиметриками в некоторых областях От С U построены важные примеры таких квазиметрик — квазиметрики dcc, соответствующие случаям V’degx = degXi при г > 2, Т > 2, и г = 1, Т = 2. Доказана эквивалентность квазиметрик, порожденных различными базисами векторных полей, согласованных с фильтрацией касательного пространства, индуцированной векторными полями при помощи которой установлена теорема об изоморфизме различных нильпотентных касательных конусов, определенных в общей точке д.

Для квазипространств вида (Uy, dcc), где Uy С U — некоторая область, доказаны теоремы их аппроксимации нильпотентными касательными конусами (Og, d?) в некоторой окрестности Од С С/т выделенной точки д? U — установлены локальные аппроксима-ционные теоремы для квазиметрик dcc и при помощи которых получены аналоги сходимости по Громову — Хаусдорфу квазипространств, dCc) i Ur С U, к квазипространству (Og, dполучены обобщения теоремы Рашевского — Чоу. Построены примеры квазипространств Карно — Каратеодори, индуцированных недифферен-цируемыми векторными полями.

На квазипространствах (Uy, cIcc), Ur С ?7, для достаточно широкого класса абсолютно непрерывных горизонтальных кривых доказано, что почти всюду обычная сходимость контролирующих координатных компонент горизонтальной кривой к некоторому направлению в точке (аналог обычной дифференцируемости) влечет диф-ференцируемость всех координат рассматриваемой кривой (в смысле dcc) в той же точке. Как следствие, получена сс-дифференцируемость почти всюду произвольной абсолютно непрерывной горизонтальной кривой.

Построены примеры равномерных, NT А- областей, областей, удовлетворяющих одновременно условиям внутренней и внешней спиралей на группах Карно-и* более общих метрических пространствах. Исследована геометрия шаров в метрике Карно — Каратеодори на группах Гейзенберга.

1. Аграчев А. А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005.

2. Акивис М. А. О канонических разложениях уравнений локальной аналитической квазигруппы // Доклады А Н СССР. 1969. Т. 188. С. "- 967−970.

3. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М Л.: ГИТТЛ. 1948.

4. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

5. Берестовский В. Н. Однородные пространства с внутренней метрикой. Дисс. докт. физ. -мат. паук. Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева. 1988.

6. Берестовский В. Н. Геодезические неголономных левоинва-риантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изоперимет-риксы плоскости Минковского // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, N2 1. С. 3−11.

7. Берестовский В. Н., Зубарева И. А. Формы сфер специальных неголономных левоинвариантных внутренних метрик на некоторых группах Ли. // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 4. С. 731−748.

8. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные. представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

9. Бураго Д1 Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

10. Буренков В. И., Файн В. Л. О продолжении функций из анизотропных пространств с сохранением класса // Докл. АН СССР. 1976. Т. 228, № 3. С. 525−528.

11. Варченко А. Н. О препятствиях к локальной эквивалентности распределений // Мат. заметки. 1981. Т. 29, № 6. С. 939−947.

12. В ершик А. М., Гершкович ВI Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 16. С. 7−85.

13. Водопьянов С. К. Изопериметрические соотношения и условия продолжения дифференцируемых функций // Докл. АН СССР. 1987. Т. 292, № 1. С. 11−15.

14. Водопьянов С. К. Внутренние геометрии и пространства дифференцируемых функций // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск, 1987. С. 18−38.

15. Водопьянов С. К. Формула Тейлора и функциональные пространства. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1988.

16. Водопьянов С. К. Геометрические аспекты пространств обобщенно дифференцируемых функций. Дисс. докт. физ. -мат. наук. Новосибирский гос. ун-т. Новосибирск. 1991.

17. Водопьянов С. К. Квазиконформные отображения на группах Карно // Докл. РАН. 1996. Т. 37, № 6. С. 1269−1295.

18. Водопьянов С. К. Весовые пространства Соболева и граничное поведение решений вырождающихся гипоэллиптических уравнений // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 2. С. 278−300.

19. Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 6. С. 1269−1295.

20. Водопьянов С. К. Дифференцируемость отображений в геометрии многообразий Карно // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 2. С. 251−271'.

21. Водопьянов С. К. Ьр-теория потенциала и квазиконформные отображения на однородных группах // Современные проблемы геометрии и анализа. Новосибирск: Наука, 1989. С. 45−89.

22. Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Структурные изоморфизмы пространств и квазиконформные отображения^ // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 2. С. 224−246.

23. Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М. Пространства Соболева и специальные классы отображений. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1981.

24. Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М., Латфуллин Т. Г. Критерий продолжения функций класса Ь из неограниченных плоских областей // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, № 2. С. 416−419.

25. Водопьянов С. К., Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными // Успехи мат. наук. 1979. Т. 34, Вып. 1<. С. 17−62.

26. Водопьянов С. К., Грешное А. В. О продолжении функций ограниченной средней осцилляции на пространствах однородного типа с внутренней метрикой // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 5. С. 1015−1048.

27. Водопьянов С. К., Грешное А. В. Аналитические свойстваквазиконформных отображений на группах Карно// Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 1317−1327.

28. Водопьянов С. К., Грешное А. В. Продолжение дифференцируемых функций и квазиконформные отображения на группах Карно // Докл. РАН. 1996, Т. 348. № 1. С. 15−18.

29. Водопьянов С. К., Грешное А. В. О дифференцируемости отображений пространств Карно — Каратеодори // Докл. РАН. 2003. Т. 389, № 5. С. 592−596.

30. Водопьянов С. К., Карманова М. В. Субриманова геометрия при минимальной гладкости, векторных полей // Докл. АН. 2008. Т. 422, № 5: С. 583−588.

31. Водопьянов С. К., Карманова М. Б- Формула площади для С1 -гладких контактных отображений // Докл. АН. 2008. Т. 422, № 1. С. 15−20.

32. Водопьянов С. К., Карманова М. Б. Локальная аппроксима-ционная теорема на многообразиях Карно в условиях минимальной гладкости // Докл. АН. 2009. Т. 427, № 3. С. 731−736.. 4

33. Водопьянов С. К. у Исангулова Д. В. Точные оценки геометрической жесткости изометрий на группах Рейзенберга // Докл. РАН. 2008. Т. 420, Л* 5. С. 583−588.

34. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Аппроксимативно дифференцируемые преобразования и замена переменных на нильпотентных группах // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 70 89.

35. Гелбаум В., Олмстед До/с. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.

36. Головин С. В., Чесноков А. А. Групповой анализ дифференциал ы 1ых уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2008.

37. Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.

38. Грешное А. В. Некоммутирующие векторные поля и формула Кэмпбелла — Хаусдорфа. Новосибирск, 2008. 28 с. (Препринт / ИМ СО РАН- № 207).

39. Грешное А. В. Области, удовлетворяющие условиям внутренней и внешней спирали, на метрических пространствах // Труды 12 Сибирской школы & laquo-Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика& raquo-. 1999. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН. С. 54−67.

40. Грешное А. В. О существовании областей, удовлетворяющих условиям внутренней и внешней спиралей // Математические труды. 2002. Т. 5, № 2. С. 138−154.

41. Грешное А. В. О равномерных и ИТ А- областях на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 5. С. 1018−1035.

42. Грешное А. В. Метрики равномерно регулярных пространств Карно — Каратеодори и их касательных конусов // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, № 2. С. 259−292.

43. Грешное А. В. Локальная аппроксимация равномерно регулярных квазипространств Карно — Каратеодори их касательными конусами // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 2. С. 290−312.

44. Грешное А. В. О дифференцируемости горизонтальных кривых в квазипространствах Карно — Каратеодори // Сиб. мат. журн. 2008. Т. 49, № 1. С. 67−86.

45. Грешное А. В. О применении методов группового анализа дифференциальных уравнений для некоторых систем С1-гладких некоммутирующих векторных полей // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, № 1. С. 47−62.

46. Грешное А. В. О применениях формулы Тейлора на некоторых квазипространствах // Математические труды. 2009. Т. 12, № 1*. С. 3−25.

47. Грешное А. В. Об одном классе липшицевых векторных полей в!3// Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 3. С. 517−527.

48. Грешное А. В. Об обобщенном неравенстве треугольника для квазиметрик, индуцированных некоммутирующими векторными полями // Математические труды. 2011. Т. 14, № 1. С. 70−98.

49. Дмитрук А. В. Квадратичные достаточные условия минимальности анормальных субримановых геодезических // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М.: ВИНИТИ, 1999. Т. 65. С. 5−89.

50. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко Ф. Т. Современная геометрия. М: Наука, 1979.

51. Дынкин Е. Б. Нормированные алгебры Ли и аналитические группы // Успехи мат. наук. 1950. Т. 5, № 1(35). С. 135−186.

52. Дынкин Е. Б. О представлении ряда о^(ехеу) от некоммутирующих х и у через коммутаторы // Мат. сборник. 1949. Т. 25, № 67. С. 155.

53. Исангулова Д. В. Класс отображений с ограниченным удельным колебанием и интегрируемость отображений с ограниченным искажением на группах Карно // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, N2 2. С. 313−334.

54. Исангулова Д. В. Локальная устойчивость отображений с ограниченным искажением на группах Гейзенберга // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 6. С. 1228−1245.

55. Исангулова Д. В. Устойчивость отображений с ограниченным искажением в норме Соболева на областях Джона групп Гейзенберга // Сиб. мат. журн. 2009. Т. 50, № 3. С. 526−546.

56. Карманова М. Б. Характеристическое множество гладких контактных отображений пространств Карно & mdash-Каратеодори // Докл. АН. Т. 425, № 3. С. 314−319.

57. Карманова М. Б. Новый подход к исследованию геометрии пространств Карно & mdash-Каратеодори // Докл. АН. 2010. Т. 434, № 3. С. 309−314.

58. Колмогоров А. Н. Zufallige Bewegundgen // Ann. Math. 1934. V. 35, N 2. P. 116−117.

59. Колмогоров А. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

60. Куратовский К. Топология. М.: Мир, 1966.

61. Мазъя В. Г. Пространства Соболева. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та. 1985.

62. Миклюков В. М. Введение в негладкий анализ. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2006.

63. Миклюков В. М. Функции весовых классов Соболева, анизотропные метрики и вырождающиеся квазиконформные отображения. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2010.

64. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. Л.: Гостехиздат, 1947.

65. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

66. Петров H. Н. О кратчайших субримановых геодезических // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, № 5. С. 768−775.

67. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984.

68. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

69. Понтрягин JI. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961.

70. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

71. Постников M. М. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982.

72. Постников M. М. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987.

73. Радкевич Е. В. Hypoelliptic operators with multiple characteristics // Мат. сборник. 1969. T. 79, № 121. С. 193−216.

74. Рашевский П. К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией // Учен. зап. Моск. гос. пед. ин. -та. им. К. Либкхнехта. Сер. физ. -мат. 1938. Т. 3, № 2. С. 83−94.

75. Решетняк Ю. ГТеоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.

76. Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1999. Ч I, Кн. 2.

77. Романов А. С. О следах функций, принадлежащих обобщенным классам соболевского типа // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, № 4. С. 848−866.

78. Романовский H. Н. Интегральные представления и теоремы вложения для функций, заданных на группах Гейзенберга Hn // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16. Вып. 2. С. 82−119.

79. Селиванова С. В. Касательный конус к квазиметрическому пространству с растяжениями // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 2. С. 388−403.

80. Троценко Д. А. Свойства областей с негладкой границей // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22, № 4. С. 221−224.

81. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987.

82. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

83. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

84. Шварцман П. А. Теоремы продолжения с сохранением локально-полиномиальных приближений / Ярославский ун-т. М.: 1986. 153 с. Деп. в ВИНИТИ 04. 09. 86, № 6487-В86.

85. Агтаг Н.} Forzara L., Toledano R. Balls and quasi-metrics: a space of homogeneous type modeling the real analysis related to the Monge-Ampere equation // Fourier Anal. Appl. 1998. V. 4, N 4, 5.P. 377−381.

86. Akivis M., Goldberg V. V. Differential geometry of webs // Handbook of Differential Geometry. Basel: Birkhauser, 2000. V. 1. P. 1152.

87. Baker H. F. Alternants and continuous groups // Proc. London Math. Soc., II Ser. 1905. V. 3. P. 24−47.

88. Bellaiche A. The tangent space in sub-Riemannian geometry// Sub-Reimannian geometry. Basel: Birkhauser, 1996. P. 1−78. (Prog. Math.- 144).

89. Bianchini R. M., Stefani G. Graded approximations and controllability along trajectory //SIAM J. Control Optim. 1990. V. 28. P. 903−924.

90. Bonfiglioli A., Lanconelli E., Uguzzoni F. Stratified Lie groups and potential theory for their sub-Laplacian. Berlin, Heidelberg: SpringerVerlag, 2007.

91. Bony J. M. Principe du maximum, inegalite de Harnack, et unicite du probleme de cauchy pour les operateurs elliptiques degenres // Ann. Inst. Fourier Grenoble. 1969. V. 19, N 1. P. 277−304.

92. Bramanti M., Brandolini L., Pedroni M. Basic properties of non-smooth Hermander’s vector fields and Poincare’s inequality // arxiv. org: 0889. 2872vl.

93. Buchbinder I. L., Pletnev N. G. Construction of one-loop N=4 SYM effective action on the mixed branch in the harmonic superspace approach // JHEP. 2005. 0509: 073−1. P. 1−30.

94. Caffarelli L., Gutierriz C. Real analysis related to the Monge-Ampere equation // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 348. P. 10 751 092.

95. Campbell J. E. Introductory treatise on Lie theory of finite continuous transformation groups. Oxford, 1903.

96. Capogna L., Garofalo N. Non tangentially accassible domains for Carnot-Caratheodory metrics and a Fatou type theorem // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I Math. 1995. V. 321, N 12. P. 1565−1570.

97. Capogna L., Garofalo N. Boundary behavior of non-negative solutions of subelliptic equations in iVTA-domains for Carnot-Caratheodory metrics // Fourier Anal. Appl. 1998. V. 4, N 4. P. 403−432.

98. Capogna L., Tang P. Uniform domains and quasiconformal mappings on Heisenberg group // Manuscripta Math. 1995. V. 86, N 3. P. 267−281.

99. Capogna L., Danielli D., Pauls S. D., Tyson J. T. An introduction to the Heiseberg groups and the sub-Riemannian isopiremetric problem. Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag AG, 2007.

100. Caratheodory C. Untersuchungen iiber die grundlangen der thermodynamik // Math. Ann. 1909. V. 67. P. 355−386.

101. Cartier P. Demonstration algebrique de la formule de Hausdorff // Bull. Soc. Math. France. 1956. V. 84. P. 241−249.

102. Cheeger J. Differentiability of Lipschitz functions on metric measure spaces // Geom. Funct. Anal. 1999. V. 9, N 3. P. 428−517.

103. Cheeger J., Kleiner B. Differentiability of Lipschitz maps from metric measure spaces to Banach spaces with the Radon-Nikodym property // Geom. Funct. Anal. 2009. V. 19- N 4. P. 1017−1028.

104. Chow W. L. Uber systeme von linearen partiallen differentialgleichungen erster ordnung // Math. Ann. 1939. V. 117. P. 98−105.

105. Citti G., Lanconelli E., Montanari A. Smoothness of Lipchitz-continuous graphs with nonvanishing Levi curvature // Acta Math. 2002. V. 188, N 1. P. 87−128.

106. Citti G., Montanari A. Regularity properties of solutions of a class of elliptic-parabolic nonlinear Levi type equations // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. V. 354, N 7. P. 2819−2848.

107. Chirikjian G., Kyatkin A. Engineering applications of noncom-mutative harmonic analysis. Boca Raton, FL: CRC Press, 2001.

108. Danielli DGarofalo N., Petrosyan A. The sub-elliptic obstacle problem: C1, OL regularity of the free boundary in Oarnot groups of step two // Adv. Math. 2007. V. 211. P. 485−516.

109. Djokovic D. Z. An elementary proof of the Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin formula // Math. Z. 1975. Bd 143, N 3. S. 209−211.

110. Eichler M. A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin formula //J. Math. Soc. Japan. 1968. V. 20. P. 23−25.

111. Folland G. B. Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups // Ark. Mat. 1975. V. 13. P. 161−207.

112. Folland G. B. Applications of analysis on nilpotent Lie groups to partial differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. 1977. V. 83, N 5. P. 912−930.

113. Folland G. B., Stein E. M. Estimates for the db complex and analysis on Heiseberg group // Comm. Pure Appl. Math. 1974. V. 27. P. 429−522.

114. Folland G. B., Stein E. M. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton: Princeton Univ. Press, 1982. (Math. Notes- 28).

115. Franchi B., Gutierrez C. E., Weeden R. L. Weight Sobolev-Poincare inequalities for Grushin type operators // Comm. Part. Dif. Eq. 1994. V. 19, N 3,4. P. 523−604.

116. Franchi B., Lanconelli E. Holder regularity theorem for a class of linear nonuniformly elliptic operators with measurable coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 1983. V. 10, N 4. P. 523−541.

117. Franchi B., Serapioni R., Serra Cassano F. Rectifiability and perimeter in the Heiseberg group // Math. Ann. 2001. V. 321, N 3. P. 479−531.

118. Franchi B., Serapioni R., Serra Cassano F. On the structure of finite perimeter sets in step 2 Carnot groups //J. Geom. Anal. 2003. V. 13, N 2: P. 421−466.

119. Garofalo N., Nhieu D. -M. Lipschitz continuity, global smooth approximations and extension theorems for Sobolev functions in Carnot-Caratheodory spaces //J. Anal. Math. 1998. V. 74. P. 67−97.

120. Garofalo N., Nhieu D. -M. Isoperimetric and Sobolev inequalities for Carnot Caratheodory spaces and the existence of minimal surfaces // Comm. Pure Appl. Math. 1996. V. 49, N 10. P. 1081−1144.

121. Gehring F., Osgood B. Uniform domains and quasi-hyperbolic metric //J. Analyse Math. 1979. V. 36. P. 50−74.

122. Gehring F., Martio O. Quasiextremal distance domains and extension of quasiconformal mappings //J. Anal. Math. 1985. V. 45. P. 181−206.

123. Gershkbvish V., Vershik A. Nonholonomic manifolds and nilpotent analysis //J. Geom. Phys. 1988. V. 5. N. 3. P. 407−452:

124. Gole C., Karidi R. A note on Carnot-geodesies in nilpotent Lie groups //J. Dynam. Control Sys. 1995. V. 1. P. 535−549.

125. Goodman R. Lifting vector fields to nilpotent Lie groups //J. Math. Pures Appl. 1978. V. 57. P. 77−85.

126. Greshnov A. V. Extension of differentiate functions beyond the boundary of the domain on Carnot groups // Sib. Adv. Math. 1997. V. 7, N 3. P. 20−62.

127. Greshnov A. V. John domains and homogeneous cone condition on Carnot groups // Progress in Analysis. Proc. 3rd ISAAC Congress. (Germany, Berlin, 20−25 August 2001). NJ, London, Singapore, Hong Kong: World Scientific, 2003. V. 1. P. 57−62.

128. Greshnov A. Some approximation theorems for quasimetrics, induced by non-commutative vector fields // Lie Groups: New Research. NY.: NOVA Publishers, 2009. P. 307−323.

129. Gromov M. Carnot-Caratheodory spaces seen from within // Sub-Reimannian geometry. P. 79−323. 1996. Basel: Birkhauser. (Prog. Math.- 144).

130. Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps // Inst. Hatues Etudes Sci. Publ. Math. 1981. V. 53. P. 53−73.

131. Gromov M. Structures metriques pour les varietes riemanni-ennes. CEDIC: Paris, 1981.

132. Hajlasz P. Sobolev spaces on an arbitrary metric space //J. Potent. Anal. 1996. V. 5, N. 4. P. 403−415.

133. Hajlasz P., Koskela P. Sobolev met Poincare // Mem. Amer. Math. Soc. 2000. V. 145, N 688.

134. Hansen W., Huber H. The Dirichlet problem for sublaplacians on nilpotent groups Geometric criteria for regularity // Math. Ann. 1984. V. 246. P. 537−547.

135. Hausdorff F. Die symbolishce exponentialformel in der gruppentheorie // Ber. Sachs. Ges. 1906. V. 58.

136. Heinonen J. Calculus on Carnot group // Fall School in Analysis. Jyvaskyla, 1994. Ill p. (Preprint/University of Jyvaskyla/1995)

137. Heinonen J., Koskela P. Definitions of quasiconformality // Invent. Math. 1995. V. 120. P. 61−79.

138. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. Universi-text. NY.: Springer-Verlag, 2001.

139. Hermes H. Nilpotent and high-order approximations of vector field system // SIAM Review. 1991. V. 33, N 2. P. 238−264.

140. Herron D., Koskela P. Locally uniform domains and quasicon-formal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1995. V. 29. P. 187−206.

141. Herron D., Koskela P. Uniform, Sobolev extension and quasi-conformal circle domains //J. Anal. Math. 1991. V. 57. P. 172−202.

142. Hormander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math. 1967. V. 119. P. 147−171.

143. Hochschild G. The structure of Lie groups. SF., London, Amsterdam: Holden-Day, 1965.

144. Isangulova D. V., Vodopyanov S. K. Coercive estimates and integral representation formulas on Carnot groups // Eurasian Math. J. 2010, V. 1, N 3. P. 58−96.

145. Jean F. Entropy and complexity of a path in sub-Riemannian geometry // ENSTA, 1999. Tech. Report, N 331.

146. Jean F. Complexity of nonholonomic motion planning / / Internal J. Control. 2001. V. 74, N 8. P. 776−782.

147. Jean F. Uniform estimation of sub-Riemannian balls // J. Dy-nam. Cont. Syst. V. 7, N 4. P. 473−500.

148. Jerison D: The Poincare inequality for vector fields satisfying Hormander’s condition // Duke Math. J. 1986. V, 53, N 2. P. 503−523.

149. Jerison D., Kenig C. Boundary behavior of harmonic functions- in non-tangentially accessible domain // Adv. Math. 1982. V. 47, N 1. P. 80−147.

150. John F. Rotation and strain-// Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14, N. 3. P.: 391−413.

151. Jones P. Extension theorems for БМО // Indiana Univ. Math. 1980. V. 29, N 1. P. 41−66.

152. Jones P. Quasiconformal mappings and- extendability of functions in Sobolev spaces // Acta Math. 1981. V 147. P. 71−88.

153. Knapp A. W., Stein E. M. Intertwining, operators for semisimple groups // Ann. Math. 1971. V. 93, N 3. P. 489−578. •

154. Kohn J. J. Phseudo-differential operators and hypoellipticity // Proc. Symp. Pure Math- Amer. Math. Soc. 1973, V. 23. P. 61−69.

155. Koranyi A., Reimann H. M. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the-Heisenberg groups // Adv. Math. 1995. V. 111. p: 1−87.

156. Koranyi A., Vagi S. Singular integrals in homogeneous spaces and some problems of classical analysis // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. CI. Sci. (4). 1971. V. 25. P. 575−648.

157. Lytchak A. Differentiation in metric spaces // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16, № 6. С. 128−161.

158. Lu G. Weighted Poincare and Sobolev inequalities for vector fields satisfying Hormander’s condition and applications // Rev. Mat. Iber. 1992. V. 8, N 3. P. 367−439.

159. Metivier G. Fonction spectrale et valeurs proposes d’une classe d’operateurs // Comm. Partial Differential Equations. 1976. V. 1. P. 479−519.

160. Margulis G. A., Mostow G. D. The differential of quasi-confor-mal mapping of a Carnot-Caratheodory spaces // Geom. Funct. Anal. 1995. V. 5, N 2. P. 402−433.

161. Margulis G. A., Mostow G. D. Some remark on definition of tangent cones in a Carnot-Caratheodory space //J. Anal. Math. 2000. V. 80. P. 299−317.

162. Martio 0., Sarvas J. Injectivity theorems in plane in space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1979. V. 4. P. 383−401.

163. Mitchell J. On Carnot-Caratheodory metrics //J. Differential Geometry. 1985. V. 21. P. 35−45.

164. Montanari A., Morbidelli D. Nonsmooth Hermander vector fields and their controlled balls // arxiv. org: 0812. 2369vl.

165. Montgomery R. Abnormal minimizer // SIAM J. Control Op-tim. 1994. V. 32, N. 6. P. 1605−1620.

166. Montgomery R. Survey of singular geodesies Sub-Reimannian geometry. Basel: Birkhauser, 1996. (Progr. Math.- 144. P. 325−339).

167. Montgomery R. A tour of subriemannian geometries, their geodesies and applications. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002.

168. Monti R., Morbidelli D. Regular domains in homogeneous groups // Trans. Amer. Math. Soc. 2005. V. 357. P: 2975−3011.

169. Mostow G. D. Strong rigidity of locally symmetric spaces. Princeton: Tokyo Univ. Press, 1973.

170. Nagano T. Linear differential systems with singularities and an application to transitive Lie algebras // J'. Math. Soc. Japan. 1966. V. 18. P. 398−404.

171. Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Math. 1985. V. 155, P. 103−147.

172. Nhieu D. -M. The Neumann problem for sub-Laplacians on Carnot groups and the extension theorem for Sobolev spaces // Ann. Mat. Pure Appl. 2001. V. 180, N 1. P. 1−25.

173. Pansu P. Metriques de Carnot-Caratheodory et quasiisometries des espaces symetriques de rang un // Ann. Math. 1989. V. 119. P. 1−60.

174. Pejas W. Ein bewies der qualitativen aussage der CampbellHausdorff-Formel fiir analytische gruppen // Arch. Math. 1968. V. 19. S. 453−456.

175. Petersen VP. Gromov-Hausdorff convergence in metric space // Differential geometry: Reimannian geometry (Proc. Sympos. Pure Math.- V. 54, Pt. 3). Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993. P. 489−504.

176. Rampazzo F., Sussmann H. Commutators of flow maps of non-smooth vector fields //J. Diff. Equi. 2007. V. 232, N 1. P. 134−175.

177. Reimann H. M. Functions of bounded mean oscillation and quasiconformal mappings // Comm. Math. Helv. 1974. V. 49. P. 260 276.

178. Reinsch M. W. A simple expression for the terms in the Baker-Campbell-Hausdorff series //J. Math. Phys. 2000. 41: 2434−2442. P. 1−8.

179. Rockland Ch. Intrinsic nilpotent approximation // Acta Appl. Math. 1987. V. 8. P. 213−270.

180. Rothchild L. P., Stein E. S. Hypoelliptic differential operators and nilpotent groups // Acta Math. 1976. V. 137. P. 247−320.

181. Stein E. M. Some geometrical concepts arising in harmonic analysis // Geom. Func. Anal. 2000: Special Volume. P. 434−453.

182. Stein E. M. Singular integrals and estimates for the Cauchy-Riemann equations // Bull Amer. Math. Soc. 1973. V. 79. P. 440−445.

183. Stein E. M. Boundary behavior of holomorphic functions of several complex variables // Princeton: Princeton Univ. Press, 1972. (Math. Notes Ser., N 11).

184. Stein E. M. Harmonic analysis: real-variables methods, orthogonality, and oscillatory integrals. Princeton: Princeton Univ. Press, 1993.

185. Stefan P. Accessible sets, orbits, and foliations with singularities // Proc. London Math. Soc. 1974. V. 29, N 3. P. 699−713.

186. Strichards R. Sub-Reimannian geometry //J. Differential Geometry. 1986. V. 24, N 2. P. 221−262.

187. Strichards R. Correction to «Sub-Riemannian geometry» // J. Differential Geometry. 1989. V. 30. P. 595−596.

188. Strichards R. The Campbell-Baker-Hausdorff-Dynkin formula and solutions of differential equations //J. Funct. Anal. 1987. V. 72. P. 320−345.

189. Sussman H. J. An extension of theorem of Nagano on transitive Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1974. V. 45. P. 349−356.

190. Sussman H. J. A general theorem on local controllability // SIAM J. Control Optim. 1987. V. 25. P. 158−194.

191. Triebel H. A new approach to function spaces on quasi-metric spaces // Rev. Mat. Complut. 2005. V. 18, N 1. P. 7-^8.

192. Vaisala J. Uniform domains // Tohoku Math. J. 1988. V. 40, N 1. P. 101−118.

193. Vaisala J. Exhaustions of John domains // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1994. V. 19. P. 47−57.

194. Varadrajan V. S. Lie groups, Lie algebras, and their representations. Englewood Cliff: Prince-Hall, 1974.

195. Vodopyanov S. K. Geometry of Carnot-Caratheodory spaces and differentiability of mappings // The Interaction of Analysis and Geometry. Contemp. Math.- V. 424. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007. P. 247−302.

196. Vodop’yanov S. K., Greshnov A. V. Quasiconformal mappings and BMO-spaces on metric structures // Sib. Adv. Math. 1998. V. 8, N 3. P. 132−150.

197. Vodopyanov S. K., Karmanova M. B. An area formula for contact C1 -mappings of Carnot manifolds // Complex Var. Elliptic Equ. 2010. V. 55, N 1−3. P. 317−329.

198. Vodopyanov S. K., Karmanova M. B. Geometry of Carnot-Caratheodory spaces, differentiability, coarea and area formulas // Analysis and mathematical physics, Trends Math. Basel: Birkhauser, 2009. P. 233−335.

Показать Свернуть

Содержание

§ 0.1. Краткая аннотация

§ 0.2. Объект исследований

§ 0.3. Мотивация исследований

§ 0.4. Проблемы

§ 0.5. Краткий обзор содержания диссертации

§ 0.6. Апробация полученных результатов

§ 0.7. Основные обозначения

Глава 1. Динамические системы и координаты

§ 1.1. Динамические системы и их простейшие свойства

§ 1.2. Базисные векторные поля и нормальная система координат

§ 1.3. Динамические системы координат. Примеры

Глава 2. 2-лупы, динамические системы и формула Кэмпбелла — Хаусдорфа

§ 2.1. Определения и примеры

§ 2.2. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа для Сг-гладких векторных полей

§ 2.3. 2-лупы, индуцированные Сг-гладкими базисными векторными полями

§ 2.4. Пример

§ 2.5. Конечномерные группы и алгебры Ли

Глава 3. Базисные векторные поля, градуированные степенями

§ 3.1. Определения, свойства и примеры

§ 3.2. Формула Кэмпбелла — Хаусдорфа для С2Г~2-базисных векторных полей, градуированных степенями

§ 3.3. Канонические векторные поля

§ 3.4. Градуированные группалгебры Ли. Примеры

Глава 4. Нильпотентный касательный конус

§ 4.1. е-сжатые и-однородные векторные поля

§ 4.2. Локальная однородная нильпотентная аппроксимация и нильпотентный касательный конус

§ 4.3. Локальная однородная нильпотентная аппроксимация для С1-гладких канонических векторных полей

§ 4.4. Изоморфизм нильпотентных касательных конусов

Глава 5. Квазиметрики и квазипространства

§ 5.1. Определения и примеры

§ 5.2. Квазиметрики и квазигруппы

§ 5.3. Базисные векторные поля и анизотропные метрические функции

§ 5.4. Квазиметрики и векторные поля, градуированные степенями

§ 5.5. Свойство поглощения для множеств Вохсс (

§ 5.6. Эквивалентные квазиметрики и билипшицево эквивалентные квазипространства

§ 5.7. Градуировка векторных полей и нильпотентный касательный конус

Глава 6. Аппроксимация квазипространств нильпотентными касательными конусами

§ 6.1. Некоторые свойства градуированных группалгебр Ли

§ 6.2. Локальные аппроксимационные теоремы для квазиметрик

§ 6.3. Квазиметрики различных нильпотентных касательных конусов. Примеры

§ 6.4. Компактные квазипространства и сходимость по Громову — Хаусдорфу

Глава 7. Квазипространства Карно — Каратеодори

§ 7.1. Векторные поля, выражающиеся согласованно через свои коммутаторы, и сс-соединимость

§ 7.2. Квазипространства Карно — Каратеодори, порожденные липшицевыми векторными полями

§ 7.3. Квазипространства Карно — Каратеодори, порожденные измеримыми векторными полями

Глава 8. Дифферендируемость горизонтальных кривых в квазипространствах

§ 8.1. Сходимость множеств к направлению

§ 8.2. Горизонтальные и сс-спрямляемые кривые

§ 8.3. Абсолютно непрерывные горизонтальные кривые

§ 8.4. Спрямляемость и сходимость горизонтальных кривых к направлению

§ 8.5. со- и /ьдифференцируемость горизонтальных кривых

Глава 9. Области, удовлетворяющие условиям внутренней и внешней спиралей

§ 9.1. Определения и формулировки результатов

§ 9.2. Доказательства утверждений 9. 1, 9. 3, 9.

§ 9.3. Доказательство теоремы 9.

§ 9.4. Условия сс-однородных конусов и области Джона

Глава 10. Вычисления на группалгебрах Карно

§ 10.1. Равномерные области на группалгебрах Карно

§ 10.2. Шары в метрике Карно — Каратеодори на группагебрах Гейзенберга

Заполнить форму текущей работой