Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического и параболического типов с разрывными нелинейностями

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Физико-математические науки
Страниц:
81
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Предметом исследования диссертации являются следующие краевые задачи:

— для уравнений эллиптического типа

Lu (x) = д (х, и (х)), (0. 1)

Виг = 0, (0. 2) в ограниченной области U С Rn, п > 2 с границей Г класса С^а, а G (0,1], [14], где дифференциальный оператор п? d п д

L = ~ +jg ?х)щ+с (ж) равномерно эллиптический вО, а (0. 2) — либо однородное граничное условие Дирихле м|г — 0, либо третье краевое условие ди dnL du сг (ж)м|г = 0, а^(х)их. со8(п, хА, п — внешняя нормаль к границе дпь ??=1

Г, соэ- направляющие косинусы нормали п, функция, а? СЛДГ) неотрицательна на Г.

Коэффициенты, а у, Ь^ с оператора Ь непрерывны по Гельдеру с показателем, а вместе с частными производными на О, а у г е Ci> e®.

Нелинейность д (х, и) равна разности суперпозиционно измеримых функций д2(х, и) и д (х, и), неубывающих по переменной и. Непрерывность д{х. /и) по и не предполагается.

Сильным решением задачи (0. 1)-(0. 2) называют функцию и? д > 1, удовлетворяющую уравнению (0. 1) почти всюду на О, для которой след Ви{х) на Г равен нулю.

Будем говорить, что для уравнения (2. 1) выполнено А1-условие, если найдется не более, чем счетное семейство поверхностей {Д-, г 6 /},

5, — = {(ж, и) € Нп+1 и = < ��������

�� W/2oc, l (0) для которых при почти всех ж Е О неравенство дх^х^и-) < д (х, и+) влечет существование г 6 I такого, что и = < �Р{(х) и либо

Ь (рг (х) + дг (х, (рг (х)-) — д2(х, < ������������������������������������������������

������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������

������: (& iquest-т х И И равна разности суперпозиционно измеримых функций д2(х^, и) и б/1 (ж, и), неубывающих по и. Непрерывность д (х^, и) по фазовой переменной и не предполагается.

Сильным решением задачи (0. 3)-(0. 4) называется функция и Е тоу (Ят) с нулевым следом на Гу, которая для почти всех (х, ?) Е & lt-5т удовлетворяет уравнению (0. 3).

Требуется, чтобы для уравнения (0. 3) было выполнено А1-условие, то есть найдется не более, чем счетное семейство поверхностей {5,-, г Е /}, 5, — = Е 11п+2 и = (р{(х,?),(х,?) Е фг}, 2 1

Уг € такое, что для почти всех (х,{) Е (& iquest-т неравенство д{х^^и-) < дх (х, м+) влечет существование г Е /, для которого и = ц> {(х, ?) и либо

Ь (рг (х, ?) + 01 (х, *, и-) — д2(х, и)) х х + (ж, м+) — д2(х, и)) > 0, (0. 5) либо Ь (рг (х, 1) = д (х^, (рг (х,{)).

Устанавливаются предложения о существовании сильных решений задач (0. 1)-(0. 2) и (0. 3)-(0. 4) в предположении, что существуют верхнее и нижнее решения и и и этой задачи, причем, й > и почти всюду на фг- Доказательства базируются на абстрактной схеме метода верхних и нижних решений, обобщающей соответствующий результат В. Н. Павленко из [23].

Далее будем пользоваться следующими обозначениями: д-(х, и) =)mg (x, s), д+(х, и) =

8-*U

-(М,& laquo-) = ]img (x, t, s), g+(x, t, u) = lim g (x, t, s). s-*u g (x, u+) = limi g (x, s), g (x, u~) = lim g (x, s)

§-s- g (x, t, u+) = lini g (x, t, s), g (x, t, u-) = lim g (x, t, s).

Разрыв нелинейности g (x, u) в точке и будем называть & quot-падающим"-, еслж д (х, и-) > д (х, и+)] & quot-прыгающим"-, если д (х, и-) < д (х, и+).

Аналогично определим & quot-падающий"- и & quot-прыгающий"- разрыв в точке и для нелинейности g (x, t, u), если g (x, t, u-) > g (x, t, u--) и если g (x, t, u-) < g (x, t, u+), соответственно.

Математические модели ряда прикладных задач сводятся к краевым задачам эллиптического и параболического типов с разрывными по фазовой переменной нелинейностями. Так к задаче (0. 1)-(0. 2) сводятся математическая модель М. А. Гольдштика [5] отрывных течений несжимаемой жидкости- рассмотренная H.J. Kuiper [69] задача о нагреве проводника при постоянном напряжении и постоянной температуре на поверхности проводника в случае, когда электропроводность материала при переходе через определенные температуры меняется скачком. К задаче (0. 3)-(0. 4) сводятся задачи о нагреве проводника при постоянном напряжении (нестационарный случай) и о подземной газификации угля в постановке Г. И. Баренблатта [35]. На необходимость исследования распределенных систем с разрывной нелинейностью было указано в монографии [15] O.A. Ладыженской, H.H. Уральцевой, В.А. Со-лонниковым в 1967 г.

Дадим краткий обзор основных результатов, полученных ранее в этой области. В связи с изучением проблемы существования корректных по отношению к различного рода возмущениям решений М. А. Красносельским и A.B. Покровским в [9] было введено понятие полуправильного решения интегрального уравнения вида ь x (t) = / K (t, s) g (s, x (s)) ds a с непрерывным ядром K (t, s) и нелинейностью g (s, x) непрерывной по s, неубывающей, но х, для которой lim sup х~гд^, х) ~ 0. решение такой задачи называют полу правильным, если для почти всех х? О, значения и (х) являются точками непрерывности функции д (х, •)). При этих предположениях в [9] устанавливается существование полуправильных решений с помощью теорем о неподвижных точках для уравнений с монотонными операторами в полуупорядоченных банаховых пространствах. В [10] этими же авторами был рассмотрен вопрос о существовании полуправильного решения задачи Дирихле

Ли + д (х, и) = 0, м|г = 0 в ограниченной области О, с достаточно гладкой границей Г, при условии, что нелинейность д (х, и) ограничена на О х R, суперпозиционно измерима и удовлетворяет одностороннему условию Липшица по переменной и: и — v)(g (x, и) — g (x, v)) > -ц (г)(и — v)2, i/|,|v| < г, х G О, ?1: R+ R. Отметим, что последнее условие допускает лишь & quot-падающие"- разрывы по и у функции д (х, и).

В работе [13] этими же авторами были получены достаточные условия существования решения задачи Дирихле для уравнения (0. 1), значения которых лишь на множестве нулевой меры могут быть точками разрыва нелинейности д (х, и). Требуется, чтобы д (х, и) как и в [10] удовлетворяла по переменной и одностороннему условию Липшица, и, кроме того, д (х, и) <? < со, х ей, и G R.

Доказательство проводится с помощью метода неподвижных точек монотонных операторов в полуупорядоченных банаховых пространствах.

В [8] М. А. Красносельским и A.B. Лусниковым были получены общие предложения о неподвижных точках, являющихся точками непрерывности изучаемого монотонного отображения обобщающие [9], [10]. Здесь вводятся определения монотонного и монотонно компактного (ММК) оператора в полуупорядоченном конусом К банаховом пространстве Е, приводятся достаточные условия существования неподвижной точки ММК-оператора на конусном отрезке, обладающей свойством /& iquest--непрерывности, при этом х* точка h-непрерывности оператора А, если \А (х*--eh) — -«¦ О и \A{x* - ?h) — Ax*\ -> 0 при е -> +0- полученные результаты применительно к задаче (0. 1)-(0. 2) позволяют установить существование полуправильного решения в предположении, что нелинейность д (х: и) удовлетворяет односторонннему условию Липшица и ограничена (см. [9], [10]).

Наиболее общие теоремы о существовании сильных решений краевых задач для уравнений в частных производных эллиптического и параболического типов с разрывными по фазовой переменной нелинейностями были получены К. -С. Chang, S. Carl, S Heikkila и B.H. Павленко. В [63] К. -С. Chang было доказано существование обобщенного решения задачи (0. 1)-(0. 2) методом обобщенных градиентов Кларка в случае, когда оператор L имеет вид ь J-1 о

Напомним [63], что элемент и? W* (О) называется обобщенным решением задачи (0. 1)-(0. 2), если для него почти всюду на О имеет место включение

L (u (x))? [д~(х, и (х)), д+(х, и (х))], где д~(х, и (х)) = тт (д (х, и (х)-), д (х, и (х)+)), д+(х, и (х)) = maх. (д (х, и (х)-), д (х, м (ж)+)).

Кроме того, К. -С. Chang были найдены условия, при выполнении которых обобщенные решения первой краевой задачи являются сильными решениями, а именно: для почти всех х? Q значение д (х, и)? [д-(х, и), д+(х, и)] и для любого и? R функция д (х, и) удовлетворяет С-условию, т. е. множество D = {(ж, и) G fix R|g (x, w-) ф д (х, и+)} является объединением не более чем счетного семейства поверхностей класса Wf ioc за исключением, быть может, множества, проекция которого на О имеет меру нуль, причем, если какие-либо две из этих поверхностей совпадают в некоторой точке, то они совпадают и в некоторой окрестности этой точки, и для почти всех х G О из неравенства д (х, и-) ф д (х, и+) следует, что (х, и) лежит на одной из поверхностей D, и, если (р (х) -локальное представление этой поверхности вблизи точки (х, и), то либо L (

Аналогично формулируются условия, при которых обобщенное решение задачи (0. 3)-(0. 4) является сильным решением этой задачи.

В [62] К. -С. Chang к исследованию краевых задач (0. 1)-(0. 2) и (0. 3)-(0. 4) применил теорию топологической степени для многозначных операторов. Предполагая, что нелинейность g (x, t, u) су-перпозиционно измерима и для нее верна оценка g (x, t, u)

V (x, t) G Qt, и G R, M G Lp (Qr), p > n, L = ^ - Д, он доказал существование обобщенного решения задачи (0. 3)-(0. 4).

В [64] К. -С. Chang было доказано предложение о существовании сильного положительного решения задачи (0. 1)-(0. 2) в предположениях, что i) -д (х, и) = д0(х, u) + gi (x, u)-g2(x, u), где д0(х, и) — каратеодориева функция,, и) — непрерывная по х при фиксированном и ж неубывающая по и при фиксированном х функция, причем существует конечное или счетное множество {мг-, ъ Е /} в R, такое, что для почти всех х Е О из д{(х, и-) ф gi (x, u+) следует, что и = щ для некоторого i Е I. и) функция д (х, и) ограничена снизу положительной функцией, не зависящей от и.

Основы метода исследования краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типов (в том числе с нелинейными граничными условиями) с гладкими нелинейностями, основанного на использовании верхних и нижних решений были заложены в работах H. Amman [39]-[43], Н. Amann и М. Crandal [43], Н. Brill [51] и других авторов. Эти результаты получили дальнейшее развитие в работах Badial М. 45], N. Basil и M. Mininni [46], I. Massabo [72], C.A. Stuart и J.F. Toland [75]. Характерным для этих работ является предположение о существовании верхнего Ш и нижнего и решений соответствующей краевой задачи с и < й. Как правило, помимо существования решения краевой задачи в конусном отрезке < и, й >, изучается проблема существования максимального и минимального решения в этом отрезке. В случае, когда нелинейность д (х, и) в уравнении (0. 1) гладкая и возрастающая по и, минимальное (максимальное) решение в < и,& uuml- > задачи (0Л)& mdash-(0. 2) может быть найдено с помощью итерационной схемы:

Luk+i = д (х, щ) в О, 11

Вщ+1 = 0 на сЮ, к = 0,1,2,.- & laquo-о = и (щ = w) [41]. Более тонкая техника используется в случае, когда предположение о неравенстве и < й отсутствует [65], с такой стуацией приходится сталкиваться при изучении резонансных краевых задач. Важно отметить, что предположение о существовании упорядоченных верхнего и нижнего решений краевой задачи позволяет сильно ослабить ограничения на рост нелинейности по фазовой переменной на бесконечности. C.A. Stuart и J.F. Toland применяя вариационные методы и метод верхних и нижних решений установили существование сильных решений задачи (0. 1)-(0. 2) в случае, когда коэффициент с дифференциального оператора L равен нулю и д (х, и) = д (и) не зависит от ж и имеет ограниченную вариацию на любом отрезке прямой.

Различные подходы к изучению краевых задач для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями, использующие верхнее и нижнее решения, были реализованы в работах S. Heikkila, S. Carl и V. Lakshmikantham. Предложенный S. Heikkila в [67] метод обощенных итераций был применен в [56] к задаче (0. 3)-(0. 4), в предположении, что существуют слабые нижнее и и верхнее и решения этих задач, и < м, и постоянная М > 0 такие, что д (х, t, s) + Ms — возрастающая по s на [и, й]. Устанавливается существование минимального и максимального слабых решений задачи (0. 3)-(0. 4) на < и, и >. В [57] рассматривается включение

Au + ?(u) Э F (u) в П, (0. 6) и = 0 на Ш, (0. 7) где О — ограниченная область в Rn с достаточно гладкой границей «90, А = - Е -???: (a, ij (x)-?-) + Е — - равномерно эллиптический дифференциальный оператор с а^, Ьг-? L°°, Fu (x) = f (u (x)), /: R -> R, такая, что для некоторой М > 0 /(s) + М — неубывающая на R, ?: R -> имеет максимально монотонный график в R2. Доказывается, что, если существуют нижнее м и верхнее й решения задачи (0. 6)-(0. 7) и и < м, то в конусном отрезке < и, й > существуют минимальное и максимальное слабые решения этой задачи. Доказательство использует метод обобщенных итераций из [67]. При этом задача (0. 6)-(0. 7) заменяется на эквивалентное вариационное неравенство, порождающее монотонное в < > отображение, неподвижные точки которого совпадают с решениями вариационного неравенства.

В [59] эти же авторы изучают задачу

Au = f (u, u) в О, (0. 8) ди = д (и, и) на < 90, (0. 9) где О и, А те же, что и в (0. 6), Jj — конормальная производная на < 90, f (u, v), g (u, v) — непрерывны по первой переменной на R и существует М > 0 такая, что f (u, s)+ Ms, g (u, s) + Ms неубывающие по s функции на R. В предположении, что задача (0. 8)-(0. 9) имеет слабые нижнее и и верхнее й решения, и < й, устанавливается, что в конусном отрезке < и, й > она имеет минимальное и максимально е слабые решения. Доказательство базируется на результатах о существовании решений вспомогательной краевой задачи вида

Аи = /(ж, и) в О, = д (х, и) на < 90, с непрерыыными по и нелинейностями / и д. и обобщенном итеративном методе из [58].

В [61] изучается задача Дирихле для нелинейного эллиптического дифференциального включения вида

Аи + Р (и, и) Э д (и, и) в О, и = 0 на < 90, в ограниченной области О 6 R" с достаточно гладкой границей, где Аи = -? нелинейный равномерно эллипти

1 ^ ческий дифференциальный оператор в О: R х R -{0} имеет максимально монотонный график в R по отношению ко второму аргументу, и /?(г, s) = [/(г, s — 0), /(г, s + 0)], где / непрерывная по первому аргументу и неубывающая по второму функция. Нелинейность д: R х R -> R предполагается непрерывной по первому аргументу и неубывающей по второму. В предположении о существовании нижнего и и верхнего и слабых решений, и< �й, и некоторых дополнительных технических ограничениях устанавливается существование минимального и максимального слабых решений этой задачи. Доказательство проводится с помощью перехода от исходной задачи к эквивалентному квазивариационному неравенству с разрывной нелинейностью.

В [68] рассматривается начальная задача х1 = A (t)x + g (t, x), ж (0) = ж0, (О. Ю) t е J — [0, с], в банаховом пространстве Е, где {A (t), t Е J} семейство замкнутых линейных операторов с плотными областями определения D (A (t)) из Е, действующих в Е. С этим семейством связано семейство (T (t, s), 0 < s < t < с}, линейных ограниченных операторов в Е, таких, что A{t)x ~ lim T (t+hJ)x х? D (A (t)) и i) T (t, t) = I, I — тождественный в Е оператор- и) T (t, s) • T (s, г) = T (t, v), 0 < s< s < t < cj.

Непрерывность g (t, x) по x не предполагается. Если g: J xE -" E непрерывная и, если x дифференцируемое решение интегрального уравнения t x (t) = T (i, 0) х0 + J T (t, s) g (s, x (s))ds (0. 11) о на J, то x решение задачи (0. 10). Решение уравнения (0. 11) называют тг’Ы-решением задачи (0. 10). Устанавливаются результаты о существовании и единственности mild решений уравнения (0. 11) и характере их зависимости от начальных данных, в предположении, что д (х, s) неубывающая по х (Е предполагается полуупорядоченным) и задача (0. 10) имеет верхнее х и нижнее х mild-решения, х< �х. Общие теоремы применяются к задаче (0. 3)-(0. 4) в случае неограниченной области О, когда g (x, t, u) неубывающая по и и существуют верхнее и и нижнее и решения, такие, что и< ����������

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������

�����������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������

�����������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������������������

����������уществование решений у нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Вест. Моск. ун-та. Мат. мех. 1973. № 6. С. 21−29.

16. Павленко В. Н. О разрешимости нелинейных уравнений с разрывными операторами //Докл. АН СССР. 1972. Т. 204, № 3. С. 506−509.

17. Павленко В. Н. Нелинейные уравнения с разрывными операторами в банаховых пространствах // Укр. мат. журн. 1979. Т. 31, № 5. С. 569−572.

18. Павленко В. Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными монотонными операторами // Укр. мат. журн. 1981. Т. ЗЗ, NЧ. С. 547−551.

19. Павленко В. Н. Теоремы существования для эллиптических вариационных неравенств с квазипотенциальными операторами // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 8. С. 1397−1402

20. Павленко В. Н. О существовании полуправильных решений задачи Дирихле для квазилинейных уравнений эллиптического типа // Укр. мат. журн. 1989. Т. 41, N42. С. 1659−1664.

21. Павленко В. Н. Полуправильные решения эллиптических вариационных неравенств с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, № 2. С. 230−235.

22. Павленко В. Н. О существовании полуправильных решений первой краевой задачи для уравнения параболического типа с разрывной немонотонной нелинейностью //Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 3. С. 520−526.

23. Павленко В. Н. Метод монотонных операторов для уравнений с разрывными нелинейностями // Изв. вузов. Математика. 1991. № 6. С. 38−44.

24. Павленко В. Н. Эллиптические вариационные неравенства с разрывными полумонотонными операторами // Вестн. Челябинского ун-та. Математика, Механика. 1991. №-1. С. 29−37.

25. Павленко В. Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, N-3. С. 216 Деп. ВИНИТИ за № 2778-В91.

26. Павленко В. Н. О разрешимости вариационных неравенств с разрывными полумонотонными операторами // Укр. мат. журн. 1993. Т. 45, № 3. С. 443−447.

27. Павленко В. Н. Метод монотонных операторов в задачах управления распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями //Изв. вузов. Математика. 1993. № 8. С. 49−54.

28. Павленко В. Н. Об одном классе задач управления распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1994. № 4. С. 204−209.

29. Павленко В. Н. Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами // Вестн. Челябинского ун-та. Математика. Механика. 1994. № 1(2). С. 87−96.

30. Павленко В. Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейно-стями // Укр. мат. журн. 1994. Т. 46, № 6. С. 729−736.

31. Павленко В. Н. Вариационныйметод для уравнений эллиптического типа с разрывной нелинейности // УМН. 1994. Т. 49,№ 1(2). С. 138.

32. Павленко В. Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывными нелинейностями //Дифферент уравнения. 1995. № 9. Деп. ВИНИТИ за № 769-В95.

33. Павленко В. Н. Существование сильных решений уравнений параболического типа с разрывынми нелинейностями // УМН. 1995. Т. 50, № 4. С. 127−128.

34. Павленко В. Н. Уравнения и вариационные неравенства с разрывными нелинейностями. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ. -мат. наук Екатеринбург, 1995.

35. Покровский А. В. Корректные решения уравнений с сильными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1984. Т. 274, № 5. С. 346 347.

36. Рязанцева И. П. Об уравнения с полумонотонными разрывными отображениями // Мат. заметки. 1981. Т. 30, N-1 | 'www.gdz-mir.ru', 22 |.

37. Соболев C. JL Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд-во Ленингр. ун-та, 1950.

38. Amann Н. On the number of solutions of nonlinear equation in ordered Banach spaces //J. Funct. Anal. 1972. Vol. 11. P. 346−384.

39. Amann H. Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces //SIAM Review. 1976. Vol. 18, № 4. P. 620−709.

40. Amann H. Supersolutons, monotone iterations, and stability //J. Different. Equat. 1976. Vol. 21. P. 363−377.

41. Amann H. Existense and multiplicity theorems for semi-linear elliptic boundary value problems //Math. Z. 1976. Vol. 150. P. 281−295.

42. Amann H., Crandall M.G. On some existence theorems for semilinear elliptic equations //Indiana Univ. Math. J. 1978. Vol. 27, № 5. P. 779−790.

43. Badiale M. Semilinear elliptic problems in Rn with discontinuous nonlinear //Atti Semin. mat. e fis. Univ. Modena. 1995. Vol. 43,2. c. 293−305.

44. Badial m., Tarantello G. Existence and multiplicity results for elliptic problems with critical growth and discontinuous nonlinearities //Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl. 1997. Vol. 29,№ 6. P. 639−677.

45. Basile N., Mininni M. Some solvability results for elliptic boundary value problems in resonance at the first eigenvalue with discontinuous nonlinearities // Boll. Un. Math. Ital., Ser. 5. 1980. Vol. l7-B, № 3. P. 1023−1033.

46. Berkovits J., Tienari M. Topological degree theory for some classes of multis with applications to hyperbolic and elliptic problems involuing discontinuons nonlinearities // Dyn. Syst. and Appl. 1996. Vol. 5, № 1. C. l-18.

47. Bocea M., Radulescu V. Probl’emes elliptiques avec non-lin'eariti'e discontinue et second membre L1 //C. r. Acad, sci Ser. 1. 1997. Vol. 324, № 2. C. 169−172

48. Bouguima S.M. On differential equations with discontinuous nonlinearities // Abst. Invit. 7 th Int. Colloq. Differ. Equat., Plovdiv Aug. 18−23, 1996. Sofia. 1996. P. 37.

49. Bougima S.M., Boucherif A. A discontinuous semilinear elliptic problems without a growth condition // Dyn. Syst. and Appl. 1993. Vol. 2, № 2. P. 183−188.

50. Brill H. On the solvability of semilinear elliptic equations with nonlinear boundary conditions // Math. Anall. 1976. Vol. 222. P. 37−48.

51. Browder F.E. Nonlinear maximal monotone operators in Banach space // Math. Ann. 1968. Vol. 175. P. 89−113.

52. Browder F., Hess P. Nonlinear mappings of monotone type Banach spaces // Funct. Anall. 1972. Vol. 11, № 3.

53. Cardinali T., Fiacca A., Papageorgiou H.S. Extremal solution for nonlinear parabolic with discontinuities //Monatsh. Math. 1997. Vol. 124, № 2. P. 119−131.

54. Carl S. The monotone iterative technique for a parabolic boundary value problems with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anal. 1989. Vol. 13, № 12. P. 1399−1407.

55. Carl S., Heikkila S. On a parabolic boundary value problems with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anal. 1990. Vol. 15, № 11. P. 1091−1095.

56. Carl S., Heikkila S. An existence result for elliptic differential inclusions with discontinuous nonlinearity // Nonlinear Anall/ 1992/ Vol/18, №-5. P. 471−479

57. Carl S., Heikkila S., Kumpulainen M. On a generalized iteration method with applications to fixed point theorems and elliptic systems involving discontinuities // Nonlinear Anall. 1993. Vol. 20, № 2. P. 157−167.

58. Carl S., Heikkila S. On the existence of extremal solutions for discontinuous elliptic equations under discontinuous flux conditions // Nonlinear Anal. 1994. Vol. 23, № 12. P. 1499−1506.

59. Carl S., Heikkila S. Extremal solutions of quasilinear parabolic boundary value problems with discontinuous nonlinearities //Dyn. Syst. and Appl. 1994. Vol. 3, № 2. P. 251−258.

60. Carl S., Heikkila S., Lakshmikantham V. Nonlinear elliptic differential inclusions governed by state-dependent subdifferentials // Nonlinear Anal. 1995. Vol 25, № 7. P. 729−745.

61. Chang K. -C. The obstacle problem and partial differential equations with discontinuous nonlinearities // Comm. Pure Appl. Math. 1980. Vol. 33, № 2. P. 117−146.

62. Chang K. -C. Varitional methods for nondifferentiable functional and their applications to partial differential equations //J. Math. Anal, and Appl. 1981. Vol. 80, № 1. P. 102−129.

63. Chang K. -C. Free boundary problems and the set-valued mappings //J. Different. Equat. 1983. Vol. 49, № 1. P. l-28.

64. Gosser J. -P., Omari P. Non-ordrered lower and upper solutions in semilinear elliptic problems // Commun, in Partial differential equations. 1994. Vol. 19, № 7−8. P. 1163−1184.

65. Gonsalves J.V., Correa F.J.S.A. //Dyn. Syst. and Appl. 1994. Vol. 3, № 2. P. 267−274.

66. Heikkila S. On fixed points through a generalized iteration method with applications to differential and integral equations involving discontinuities // Nonlinear Anal. 1990. Vol. 14, № 5. P. 413−426.

67. Heikkila S., Lakshmikantham V. On mild solutions of first order discontinuous semilinear differential equations in Banach spaces // Appl. Anal. 1995. Vol. 56, № 1−2. P. 131−146.

68. Kuiper M.J. On positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems //Rend. Circolo mat. Palermo. Ser.2. 1971. V. 20,№ 2−3. P. 113−138.

69. Liu Z. Monotone methods for elliptic boundary value problems with discontinuous nonlinearities // Ann. Univ. Sci. Budapest. Sec. Math. 1994. Vol. 37, P. 41−52.

70. Liu Z. On elliptic systems with discontinuous nonlinearities //Period, math. hung. 1995. Vol. 30, № 3. P. 211−223.

71. Massabo L Elliptic boundary value problems at resonance with, discontinuous nonlinearities. //Boll. Un. Math. Ital., Ser. 5. 1980. Vol. l7-B, № 3. P. 1302−1320.

72. Rockafellar R.T. Local boundodness of nonlinear monotone operators // Michigan Math. J. 1969. Vol. 16, N4. P. 397−407.

73. Stuart C.A. Maximal and minimal solutions of elliptic differential equations with discontinuous nonlinearities //Math. Z. 1978. Vol. 163. P. 239−249.

74. Stuart C.A., Toland J.F. A varitional method for boundary, value problems with discontinuous nonlinearities //J. London Math. Soc., Ser. 2. 1980. Vol. 21, № 2. P. 319−328.

75. Stuart C.A., Toland J.F. A property of solutions of elliptic differential equations with discontinuous nonlinearities //J. London Math. Soc., Ser. 2. 1980. Vol. 21, № 2. P. 329−335.

76. Szil’agyi P. Differential inclusions for elliptic systems with discontinuous nonlinearity // Stud. Univ. Babes-Bolyai. Math. 1993. Vol. 38, № 2. P. 21−30.

77. Ульянова О. В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // XX студ. научн. конф. & quot-Студент и научно технический прогресс& quot-. Тез. докл. Челябинск, ЧелГУ. 1996. С. 9−10.

78. Ульянова О. В. Метод верхних и нижних решений для задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Материалы XXXV междунар. научн. студ. конф. Новосибирск: НГУ. 1997. С. 115−116.

79. Ульянова О. В. О модификации абстрактной схемы метода верхних и нижних решений //Конф. & quot-Наука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия& quot-. Тез. докл. Челябинск: ЧГПУ. 1997. С. ЗО.

80. Ульянова О. В. Об одном обобщении абстрактной схемы метода верхних и нижних решений // Воронежск. вес. мат. школа & quot-Современные методы в теории краевых задач. Понтрягин-ские чтения IX". Тез. докл. Воронеж: ВГУ. 1998. С. 200.

81. Павленко В. Н., Ульянова О. В. Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными не-линейностями //Известия вузов. Математика. 1998. №-11. С. 69−76.

82. Ульянова О. В. О модификации абстрактной схемы метода верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностями //Рук. деп. ВИНИТИ392 3 99 с- Об: сл. уд.

Показать Свернуть

Содержание

I Абстрактная схема метода верхних и нижних реше

1.1 Предварительные сведения.

1.1.1 Монотонные операторы в полуупорядоченных банаховых пространствах.

1.1.2 Обобщенные производные. Пространства Соболева и теоремы вложения для них.

1.2 Основная теорема (формулировка).

1.3 Доказательство основной теоремы.

II Метод верхних и нижних решений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностя-ми

2.1 Постановка задачи. Основные определения и обозначения.

2.2 Вспомогательные результаты.

2.3 План доказательства теоремы 2.1.1.

2.4 Завершение доказательства теоремы 2.1.1.

2.5 Следствие основной теоремы. Пример.

III Метод верхних и нижних решений для уравнений параболического типа с разрывными нелинейностя

3.1 Постановка задачи. Основные определения и обозначения.

3.2 Вспомогательные утверждения.

3.3 План доказательства теоремы 3.1.1.

3.4 Завершение доказательства теоремы 3.1.1.

3.5 Следствия основной теоремы.

Заполнить форму текущей работой