Обобщение метода А. А. Дородницына приближенного вычисления собственных чисел и собственных векторов симметричных матриц на случай самосопряженных дискретных операторов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Эти гомотопии показывают, что фп ([хп-1(/Зт)]) = [& lt-?п (Хп-1(/Зт))] = [Ап]- Таким образом, сюръ-ективность отображения фп доказана.
Для доказательства инъективности фп предположим, чтоп (["т'-]) = [^п («т'-)] = [?ш- Следовательно, (Зш = - ?ш- Последнее согласно определению 2 означает, что существует М е х N такое, что (^(скт'-^м ж ~ е^(ге1^м)& gt- ЧТ0& gt- в свою очередь, означает наличие цепочки просто гомотопных толерантных сфероидов:
(^п («то/))м, то — ^ & amp-М, т, т ~ '-
Эти сфероиды определяют цепочку сфероидов в), хп-1(Хп-1 непосредственной проверкой получаем:
Л*) Я- - рп РШ. т — Ь
M'-
(16)

), j = О, t. Из (16) и определения
ам'-ш'- - Xn-l (^ ^ ~ Xn-li
'-мщ
то)
Xn- 1(
'-мщ
то) (?ei)/lf
Это означает, что [а, т'- = [(?ei)n]- Таким образом, инъективность фп доказана. Библиографический список
1. Zeeman E.C. The topology of the brain and visual 3. Небалуев С. И. Высшие гомотопические группы то-perception // The topology of 3-manifolds and related лерантных пространств // Исследования по алгебре, topics. New Jersey, 1962. P. 240−256. теории чисел, функциональному анализу и смежным
2. Небалуев С. И. Гомологическая теория толерантных вопросам: межвуз. сб. науч. тр. Саратов, 2003. Вып. 2. пространств: учеб. пособие. Саратов, 2006. 111 с. С. 15−30.
УДК 517. 984
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА А. А. ДОРОДНИЦЫНА ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ НА СЛУЧАЙ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Е. М. Малеко
Магнитогорский государственный технический университет, кафедра математики E-mail: emaleko@rambler. ru
Пусть A -- самосопряженный дискретный оператор с простым спектром, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H и имеющий там ядерную резольвенту, В -- самосопряженный и ограниченный в H оператор. Тогда можно подобрать такое е & gt- 0, что собственные числа и собственные функции возмущенного оператора A + еВ будут вычисляться по методу А. А. Дородницына.
Ключевые слова: гильбертово пространство, возмущенный оператор, спектр.
Generalization of Method A. A. Dorodnicyn Close Calculation of Eigenvalues and Eigenvectors of Symmetric Matrices on Case of Self-Conjugate Discrete Operators
E. M. Maleko
Magnitogorsk State Technical University, Chair of Mathematics E-mail: emaleko@rambler. ru
Let the discrete self-conjugate operator A operates in separable Hilbert space H and has the kernel resolvent with simple spectrum. Self-conjugate and limited operator B operates also in H. Then it is possible to find such number? & gt- 0, that eigenvalues and eigenfunctions of the perturbation operator A+eB will be calculated on a method of Dorodnicyn.
Keywords: Hilbert space, perturbation operator, spectrum.
Часто при решении краевых задач важно знать не только их собственные числа, но и собственные функции. А. А. Дородницын разработал [1, с. 180−181] метод вычисления собственных чисел и векторов матриц вида
С (е) = А + еВ,
где А, В, С (е) — симметричные квадратные матрицы размера п х п, е & gt- 0 — некоторое число. Собственные числа Аг = Аг (0) и вектора хг = хг (0) матрицы, А предполагаются известными.
Метод заключается в сведении системы уравнений
(А + eB) xi (e) = Лг (е)жг (е), г = 1, п,
на вычисление собственных чисел Aj (e) и векторов x (е) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных Aj (е) и Xj (e). Систему ОДУ можно решать любыми из известных методов и, в частности, численными методами, причем в [1, с. 180−181] автор продемонстрировал применение метода Эйлера и его модификации. Возникает естественный интерес к возможности обобщения данного подхода с конечномерного на бесконечномерный случай, то есть об его использовании для нахождения собственных чисел и собственных функций самосопряженных дискретных операторов [1, с. 180−181].
1. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРВЫХ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Пусть A — самосопряженный дискретный оператор с простым спектром, который действует в действительном сепарабельном гильбертовом пространстве (СГП) H и имеет там ядерную резольвенту, B — ограниченный, самосопряженный оператор в H и такой, что существуют ео & gt- 0 и класс операторов
?ео := {C (е) := A + еВ | 0 & lt- е & lt- ео}, (1)
где C (е) — самосопряженный дискретный оператор с простым спектром.
Будем предполагать, что известны собственные значения Aj = Aj (0), i Е N, и соответствующие собственные функции xj = xj (0) оператора A, причем числа Aj занумерованы по возрастанию их модулей. Собственные функции xj обладают свойством (xj) =, (¦, ¦) — скалярное произведение в H, & lt-5^-- символ Кронекера, а их совокупность (xj)°=1 пусть образует в H ортонормированный базис (ОНБ). Далее покажем, что если Aj (е) Е C1([0, ео]) и ^(е) Е F ([0, ео], H) действуют как функции параметра е, то для вычисления собственных чисел Aj (е) и собственных функций xj (е) оператора C (е) Е? ео применим метод А. А. Дородницына [1, с. 180−181]. Под множеством F ([0, е0], H) будем понимать совокупность всех функций y (-), дифференцируемых на отрезке [0,е0] по Фреше со значениями в H и таких, что для любого v Е [0, е0]
lim
w^v
dy (v) dy (w)
йе йе
H
Ady (v) = dAv (v) Bdv (v) = dBy (v) йе йе йе йе
где || ¦ || - норма в Н.
Приведем суть метода А. А. Дородницына [1, с. 180−181]: «.. Один из методов определения собственных чисел и векторов основан на теории возмущений, т. е. разложении этих величин в ряды по степеням е. Однако применение теории возмущений ограничивается достаточно малыми значениями е, так как при некоторых значениях е ряды становятся расходящимися, хотя на пути от е = 0 до данного значения е собственные числа и векторы, рассматриваемые как функции параметра е, не имеют особенностей. Но даже и в этом случае, если ряд сходится, вычисление большого числа членов может оказаться очень трудоемким.
Уравнению для собственных чисел и собственных векторов можно сопоставить эквивалентную систему дифференциальных уравнений… «.
Приведем метод для случая произвольного оператора С (е) е? ео, е е [0, е0]. Рассмотрим для любого фиксированного е е [0,е0] бесконечную систему уравнений на собственные значения Aj (е) и нормированные собственные функции ^(е):
(А + еВ) х (е) = Aj (е)х (е), (а^(е), а^(е)) = 1, г е N. (2)
Дифференцируя (2) по е, будем иметь
,. ?х (е) », ,, ,, ?х (е), , ^(е) /?х (е), Л ^
Для произвольно взятого г е N получаем из (3) бесконечную систему равенств
((А + еВ)^- + Вх& lt-(е), хк (е)^ = + х^е)^-, хк (е)^, к = 1, 2,3,
Отсюда имеем
^г{?хк (е)хк (е)) +(Вхг (е)}хк (е)) = Лг (е) (+ (хг (е), х,(е)) & lt-*А<-(е)
?е у / ?е (4)
к = 1, 2, 3,…
Из (4) для к = г получаем
& lt-^± = (Вхг{е)1хг{е))1 геМ, (5)
а для к = г
(Вхг (е), хк (е)) = (Хг (е) — Хк (е)) (^М + (хг (е), хк (е)) (6)
Поделим (6) на ^ (е) — Ак (е)) и умножим на хк (е):
(В^(е), Хк (е)) /?х (е) Л Ме), хк (е)) ^(е)
№г®11(?)=$'-(б) — (7)
Подставляем в (7) вместо ^ (е)/йе правую часть из (5):
(Вх (е), Хк (е)) /?х (е) Л (Вх (е), (х (е), хк (е))х (е))
Щ? ГШЫе) = Хк (е)& gt-Хк (е) ±ШГШ)-Хк (?
откуда
(В^ (е), Хк (е) — (а^(е), Жк (е))х (е)) /?х (е) Л **& lt-е>--(Л,(Е) _ Аф))-= (8)
Суммируем (8) по к от 1 до го, исключая случай к = г:
^ ,(Вхг (е), хк (е) ~ (хг (е), хк (е))хг (е)) ^ & lt-Ме), Л ^ ГсЛ
ГХ. -ГИ-, хк{?) хк{?)
к=1 (Aj (е) — Ак (е)) ^ ?е
(штрих ('-) означает, что к = г). Учитывая, что скалярное произведение (?х (е)/йе, ^(е)) равно нулю для любого натурального г совместно с базисностью в Н набора {хк (е)}, из последнего равенства получаем:
бЬсг (е) _ ^ ,(Вх^?), хк (е) — (х^е), хк (е))х^?))
Ь (Ш-Ш) Хк[?)• ()
Докажем базисность набора {хк (е)} в Н.
Случай I. Для к = г из формулы (6), поменяв местами г и к, имеем
(Вхк (?), хг (?)) = (Хк (?) — хг (?)) + (а*(е), а*(е)) (10)
Из самосопряженности оператора В следует равенство
(Вхк (е), х (е)) = (хк (е), Вх (е)),
а из действительности СГП Н —
(хк (е), Вх (е)) = (Вх (е), хк (е)). Тогда из (10) с учетом последних двух равенств получим:
{Вхг{е), хк{е)) = (А*(е) — Лг (е)) + (хк (е), хг (?)) (11)
Вычтем из равенства (11) равенство (6), используя свойство скалярного произведения (а, Ь) = (Ь, а) в действительном СГП Н:
О = (А*(е) — Аг (е)) (хк (е), хг (е)) + (хк (е), хг (е)) (& lt-*А*(е)
йе V? е ?е
откуда
Проинтегрируем последнее дифференциальное равенство по всему отрезку [0, е0]:
(Ак (е) — Аг (е)) (х^(е), х (е)) = С.
Учитывая, что (хк (0), хг (0)) = (Ак (е) — Аг (е)) =0, к = г, е е [0, е0], получим С = 0. Поэтому для любого е из [0, е0] выполняется равенство (хк (е), хг (е)) =0, к = г. Случай II. Для к = г и е е [0, е0] из (2), (3) имеем систему
0 = жДе)),
(хг (0), Хг (0)) = 1.
Интегрируя дифференциальное равенство системы по всему отрезку [0, е0], получим (хг (е), хг (е)) = = Сь откуда с учетом второго равенства системы С1 = 1. Поэтому (хг (е), хг (е)) = 1 для любого е е [0, е0] и г е N. Таким образом, (хг (е), хк (е)) =, е е [0, е0], в результате (9) перепишется в виде
йхг{е)™,{Вхг{е)1Хк{е)) о1е (г (е) — к (е))Хк{?)& gt- ^
А так как (хг (0)}°=1 — ОНБ в Н, то и {хг (е)}°=1 — ОНБ в Н для любого е е [0,е0]. Докажем это. Так как резольвента Дл (А) (А = Аг, Уг) — ядерный оператор, В — ограниченный оператор, то функциональный ряд в правой части формулы (12) сильно сходится в Н на отрезке [0,е0] для каждого г е N и мажорируется абсолютно сходящимся числовым рядом. Тогда в силу почленной интегрируемости этого ряда на [0, е0] получаем формулы

хг (е) = хг (0) + V'- / ^f^wl^fcW^ V е е [0,?0] VieN, (13)
k- J (Л (t) — Afc (t))
ft-i о
из которых с учетом (xi (e), xk (е)) = & lt-5ik следует, что для любого е е [o, e0] (xi (e)}°-i — базис Рисса, причем ортонормированный.
Таким образом, системе уравнений (2) на собственные числа Ai (е) и собственные функции xi (е) оператора C (е) е? ео можно сопоставить систему дифференциальных уравнений (5), (12). Итак, доказана следующая лемма.
Лемма 1. Система уравнений (2) на собственные числа Ai (е) и собственные функции xi (е) оператора C (е) е? ео (см. (1)) на отрезке [0, е0] эквивалентна системе дифференциальных уравнений (5), (12) на том же отрезке, если Ai (е) е Ci ([0, е0]) и xi (е) е F ([0, е0], H) как функции параметра е. При этом для любого е е [0, е0] система функций {х^е)}^ - ОНБ в H.
В следующей лемме выделяется класс операторов, для которых автоматически выполняются условия леммы 1.
Лемма 2. Пусть оператор C (е) := A + еВ действует в СГП H := (а, b), где (a, b) — конечномерный или бесконечномерный промежуток, У ¦ ||2 := /аЬ | ¦ |2^(t) dt, w (t) — весовая (неотрицательная) функция на (а, b), A — самосопряженный дискретный дифференциальный оператор второго порядка с ядерной резольвентой, область определения которого состоит из всех функций f, абсолютно непрерывных вместе со своими первыми производными на любом отрезке [а, в]
из (а, b), В — оператор умножения на вещественнозначную функцию p е L^(a, b), е е [0, е0],
1
2е0 i-j
Тогда для любого номера i е N будем иметь Ai (е) е Ci ([0,е0]) и xi (е) е F ([0,е0],^
причем число ео такое, что ||В|| & lt- --min|Ai (0) — Aj (0)|.
е
Доказательство. Из свойств оператора A с учетом нормированности его собственных функций X (0), i G N, имеем, что (xj (0)}°=1 — ОНБ в H. К тому же, из свойств оператора B следует, что для любого е G [0, е0] имеем C (е) G Ceo. А из включения Bxj (е) G H и разложения
Bxi (е) = (e), xk (e))xfc (е)
k=1
ясно, что найдется такое число В1 & gt- 0, для которого выполняются неравенства |(Вх^(е), х& amp-(е))| & lt- В1 для любого е е [0, во] и всех (г, к) е N х N. Тогда из (12) получаем оценку
dx? (е)
de
оо 1
& lt- го, е е [0,е0], i е N.
(14)
Из равенства (5) видно, что для любого г € N функция ХЛе) имеет ограниченную производную
ае
в каждой точке е е [0, е0], поэтому Л^ (е) непрерывна на [0,е0]. Тогда сумма в (14) является также непрерывной функцией переменной е на отрезке [0, е0]. Для любых и и V из [0, е0] справедливо неравенство
|x?(u) — x?(v)|| & lt- ||x?(u)|| + ||x?(v)|| = 2,
поэтому из (14) получаем
dx? (u) dx? (v)
de
de
1


1
k=1
|Ai (v) — Afc (v)|
Следовательно, для любого v е [0, e0] и любого i е N имеем
lim
w^v
dx? (v) dx? (w)
de
de
^ 0.
Условия же
A
dx? (v) dAx? (v) dx? (v) dBx? (v)
v е [0, e0] i е N,
ае ае ае ае
выполнимы ввиду представления операторов, А и В. Отсюда х^(е) е $([0, е0], Н), г е N.
Из дифференцируемости (по Фреше) функций х^(е) на [0, е0] и формулы (5) следует непрерывность алг (е)
функций
de
на этом же отрезке. Поэтому A?(e) е C1 ([0, e0]), i е N. Лемма доказана.
Для того чтобы использовать компьютер в вычислениях по полученным формулам, необходимо выполнение следующих условий:
1) знак го в формулах (5) и (12) поменять на достаточно большое натуральное п-
2) найти матричные представления МАП, МВп сужений Ап, Вп самосопряженных операторов А, В на линейное подпространство? п := Ь (х1 (0),…, хп (0)) С Н, а тем самым и матричное представление МСп (е0) = МАП + е0МВП сужения Сп (е0) самосопряженного оператора С (е0) = А + е0 В на —
3) выбрать натуральное т таким, чтобы шаг Н = е0/т был достаточно малым положительным числом-
4) использовать следующие обозначения:
• А-0, г = Т~п, и хт° = (1,0,0,…, 0)*, Х20 = (0,1, 0,…, 0)*, х/ = (0,0,1,…, 0)*, …, хп0 = (0, 0, 0,…, 1)* - собственные числа и вектора матрицы МАп = МСп (0) = МАп + 0 ¦ МВп (ясно, что А-0 = Аг (0) = г, г = 1, п) —
• Л_т и х_т — приближенные собственные числа и собственные вектора матрицы МСп (е0) —
• и х~и, г = 1, п, ь& gt- = 1, т-1, — промежуточные числа и вектора, которые вместе с -т и х_т находятся любым из линейных одношаговых или многошаговых численных методов решения дифференциальных уравнений-
• А?(п, е) и Хг (п, е), % = 1, п, — собственные числа и функции оператора Сп (е), действующего в? п.

Точные значения собственных чисел Аг (п, е) и собственных функций (п, е) оператора Сп (е) для любого е е [0, е0] вычисляются с учетом условия 1) из системы
= (Вх^п, е), Хг (п, е)),? = 1, п, (15)
dxi (n1 е) ^,(Вхг (п, е), Хк (п,?)). ,. -- пс,
-1-= 2777-^-Г7-г = 1, п. (16)
(Аг (п, е) — Ак (п, е))
Число п выбирается достаточно большим, чтобы при каждом 5 е [0,е0] оператор Сп (5) имел простой спектр (спектры оператора Сп (5) и соответствующей матрицы МСП (5) совпадают). Тогда, уменьшая шаг Н = е0/т (т при этом увеличивается) для получения более качественных аппроксимаций по одному из численных методов решения системы (15), (16), будем иметь следующие приближения:
Аг (е0) ~ Хг (щ ео) ~ А-т, г = (17)
п
Жг (ео) ~^(п, е0) ~х-т (п, е0) := -^(0), г = ТТгг, (18)
?=1
777 '- -л 777
где ж-, ^ = 1, п, — компоненты вектора ж-.
Таким образом, увеличивая п и т (при этом величина шага Н = е0/т будет уменьшаться) без учета вычислительной погрешности по вышеуказанному способу, можно добиться получения таких чисел А_т и функций Х_т (п, е0), которые как угодно мало отличаются соответственно по модулю и по норме от искомых собственных чисел Аг (е0) и собственных функций (е0) оператора С (е0), 1 = 1,1%. Доказанный результат сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1 и п «1 таково, что при каждом 5 е [0, е0] оператор Сп (5) (или соответствующая матрица МСп (5)) имеет простой спектр. Тогда для приближенного вычисления первых собственных чисел Аг (е) и функций ж (е) оператора С (е) е? ео, вместо системы (5), (12), можно использовать систему (15), (16). Решением последней являются собственные числа Аг (п, е) (^ Аг (е)) и собственные функции ж (п, е) (^ жг (е)) оператора Сп (е).
Замечание. Собственные числа Аг (п, е) и собственные функции ж (п, е) оператора Сп (е) находятся (может быть и приближенно) с помощью любого из методов (в том числе и численных) решения систем дифференциальных уравнений.
2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РУНГЕ — КУТТЫ В ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ ПЕРВЫХ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ВОЗМУЩЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Хорошо известен метод Рунге — Кутты для приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (см., например, [2, с. 226−228]).
у'- = /(*, у), I е [0, е], ('-) = ?М, (19)
с начальным условием
у (0) = Уо, (20)
где /(?, у) — некоторая заданная функция двух переменных. Будем считать, что для задачи Коши (15), (16) выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке [0, е] ее решения у = у (?) (такие требования можно найти в любом курсе дифференциальных уравнений или в соответствующем разделе курса высшей математики, см., например, [3−5]).
Придерживаясь в дальнейшем изложении обозначений, введенных в предыдущем параграфе, выберем натуральное т таким, чтобы шаг Н = е0/т был достаточно малым положительным числом. Тогда отрезок [0, е0] можно разбить системой равноотстоящих друг от друга точек (или узлов) Ьг = % ¦ Н, а приближенные значения Уг+1, г = 0, ш — 1, функции-решения у = у (Ь) в узлах
(21)
? =, 2 = 1, т, находить с помощью метода Рунге — Кутты:
п2 = /(?1 + й/2,уг + п½), п1 = /(?г + Л/2, у + п2/2), п4 = + Л, У1 + Пз), ?Уг = (п1 + 2п2 + 2пз + п4) /6,
Уг+1 = Уг + АУг-
Таким образом, задача Коши (15), (16) с начальными условиями (#?(0),#?(0)) = 1, г = 1, п, приближенно решается с использованием формул (21).
Пусть выполнены условия теоремы 1. Адаптируя формулы (21) к описанной выше задаче Коши, получаем следующие формулы Рунге — Кутты для приближенного вычисления собственных чисел Аг (п, е0) и собственных функций хг (п, е0) оператора Сп (е0):
А:

= A_v + AA_V,
+1 _
= + Дг& quot-, i = l, n, z/ = 0, m — 1,
(22)
где
AA_V = (ni (A_v) + 22(A_v) + 2пз (A_v) + П4(A_v)) /6, Ax_v = (ni (x_v) + 2n2(x_v) + 2n з (x_v) + n4(x_v)) /6,
Vl (Af) = h{MBnxf, x?), 7/i (a^& quot-) =
k=1
Xf-Xf k
П2(A_v) = h (MBn (x_v + ni (x_v)/2), x_v + ni (x_v)/2),
k=i
(A_v + ni (A_v)/2) — (Akv + ni (Akv)/2)
Пз (A_v) = h (MBn (x_v + n2(x_v)/2), x_v + n2(x_v)/2),
]-hh + 2)-(A/ +. 2(A/)/2) ^ + & gt-/2>-'-
n4(A_V) = h (MBn (x_v + ПЗ (x_v)), x_v + ПЗ (x_v)), & quot- / + Vs{xf)), x? + r/з»))
^ i «/ Л г/
n4 (x_V) =
k=i
(A_v + пз (A_v)) — (Akv + Пз (Akv))
«+ Пз (Xkv)).
Для получения окончательных результатов остается воспользоваться формулами (17), (18).
3. ДЕМОНСТРАЦИЯ МЕТОДА А.А. ДОРОДНИЦЫНА НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ
Реальные вычисления базируются на методе Рунге — Кутты, погрешность которого контролировать очень непросто, поэтому точность получаемых результатов будем оценивать в каждом конкретном случае по норме невязок.
Пример 1. Возмущенный квадрат оператора Эрмита.
Рассмотрим действующий в СГП Н = (-го, го), и = ехр (-?2), оператор, А = М2, где М := -+ + I. Областью определения Р (А) оператора, А будем считать совокуп-
ность всех функций / со следующими свойствами: /, /'-, /'-'- и /'-& quot- - абсолютно непрерывны на любом отрезке числовой оси, А/ е Н. Хорошо известно, что спектр оператора, А составляют числа Ап = (2п + 1)2, п е N и {0}, а соответствующими собственными функциями, образующими в Н ортонормированный базис, являются хп = с-1 Нп, где Нп — многочлены Эрмита, сп = ||Нп||,
/ос ½
|| ¦ || = / ехр (-?2)| ¦ |2^ - норма в Н.
Пусть B — оператор умножения на вещественнозначную функцию p е го), причем B и
е & gt- 0 такие, что е||р||те & lt- min |Аг+1 — Аг|/2 = |Ai — Ао|/2 = 4, где ||p||& lt-^ = essential sup |p (t)|. Тогда
оператор C (е) = A + еВ — самосопряженный, имеет простой спектр и ядерную резольвенту в H. Пусть n = 10, m = 20, функция
i 3?3 — 5i + 1, |i|& lt- 1 p (t) = 0, |t| & gt- 1,
а е = 1. Поэтому е||р||^ & lt- 4, h = е/m = 0. 05. Используем принятые ранее обозначения: А0 = Аг, i = O7TU, хъ° = (1, 0, 0,…, Of, жi0 = (0,1, 0,…, 0)*, … xj°0 = (0,0,0,…, 1)* - собственные числа и собственные вектора матрицы MA10 = MC10(0) = MA10 + 0 ¦ MB10 = {(Ax)}1°=0, MBio = = {(Bxj, xj)}j1,(j=0 — матричное представление оператора B в подпространстве L10 := L (x0(0),… ,
жю (0)) СИ. '- _
Найдем по формулам (22) числа А-20 и вектора х~20, г = 0,10, применяя математический пакет Maple 8 и производя вычисления с числами, имеющими в своей десятичной записи 30 значащих цифр. Далее, следуя формулам (17), (18), получим приближенные значения собственных чисел Аг (1) и функций хг (1) оператора C (1). Для экономии места выпишем только первое (с нулевым номером) найденное собственное число и соответствующую собственную функцию:
А0 (1) ~ А020 = 1. 68 325 964 047 228 617 118 825 054 208,
Х0(1) ~ X20(10,1) = 0. 17 285 241 152 245 274 064 833 216 5128t+ +0. 16 171 462 684 958 143 414 632 710 1440t2 — 0. 33 263 088 674 298 445 949 233 528 8324t3- -0. 1 331 328 454 503 492 641 651 425 2806t4 + 0. 5 993 814 995 772 184 424 116 912 1281t5+ +0. 195 822 126 271 437 677 399 113 7282t6 — 0. 553 823 368 434 647 528 770 633 7288t7+ +0. 70 175 789 723 017 903 685 500 9284t8 + 0. 18 766 879 246 073 963 432 902 6565t9- -0. 3 619 369 127 415 771 801 059 3285t10 + 0. 737 304 953 743 735 297 801 174 646 784.
Оценка нормы невязки
0 := C (1)X20(10,1) — А020X20(10,1): 1101 & lt- 0. 358.
Следует отметить, что выписанные значения собственного числа и собственной функции не могут быть округлены до меньшего количества значащих цифр, так как в противном случае возрастет число ||ет01|.
Пример 2. Возмущенный оператор Якоби.
Рассмотрим действующий в СГП H = L?(-1,1), ш = (1 — t) a (1 + t) e, а & gt- -1, в & gt- -1, а + в = -1,
а = 0, в = 0, оператор, А := -(1 — t2) d2/dt2 — [в — а — (а + в + 2) t]d/dt + I. Областью определения
D (A) этого оператора будем считать совокупность всех функций f со следующими свойствами: f
и f — абсолютно непрерывны на отрезке [-1,1], Af е H. Спектр оператора A составляют числа
Ап = 1 + n (n + а + в + 1), n е NU{0}, а соответствующими собственными функциями, образующими
в H ортонормированный базис, являются xn = c-1P& quot-'-e, где — многочлены Якоби, cn = ||Р& quot-'-в||,
/1 ½ || ¦ ||= I / (1 — t) a (1 + t) e |-|2 dtj -норма в H.
Пусть B — оператор умножения на вещественнозначную функцию p е L^(-1,1), причем B и е & gt- 0 такие, что
e||p|U & lt- min |Аг+1 — Аг|/2 = |А1 — А01/2 = 1 + (а + в)/2,
г
где ||р||те = essentialsup |p (t)|. Тогда оператор C (е) = A + еB — самосопряженный, имеет простой te (-1,1)
спектр и ядерную резольвенту в H.
Пусть n =10, m = 20, а = 2, в = 3, функция p (t) = t5 — 2t2 + 2t — 1, а е = 0.5. Поэтому
е||р||те & lt- 7/2, h = е/m = 0. 025.
Действуя далее по аналогии с примером 1, получим
Ао (0. 5) и А020 = 0. 496 252 345 561 275 424 060 022 456 320,
хо (0. 5) и X-20 (10, 0. 5) = -0. 942 574 665 844 244 483 867 148 2883t5--0. 13 223 644 207 537 123 389 851 303 9363t + 0. 32 546 776 178 242 953 777 512 4486t10--0. 187 255 075 269 622 651 420 6728t9 + 0. 101 496 997 423 765 101 054 263 2961t8--0. 48 314 363 356 930 535 818 526 7202t7 + 0. 1 103 406 686 685 029 612 895 862 7844t6+ +0. 6 794 930 725 358 368 160 183 484 4164t2 — 0. 14 140 652 232 540 240 591 168 995 3280t3+ +0. 170 240 173 059 974 074 015 416 3207t4 + 0. 977 204 080 555 186 869 563 843 149 824, ||ето|| := ||C (0. 5) X-20(10, 0. 5) — А020X-20(10,0. 5)|| & lt- 0. 14.
Величина нормы невязки ет0 позволяет утверждать о близости найденного числа А020 и функции X-20(10,0. 5) к собственному числу А0(0. 5) и собственной функции x0(0. 5) оператора C (0. 5). Пример 3. Возмущенный оператор Лежандра.
Рассмотрим действующий в СГП H = L2(- 1,1) оператор A := -(1 — t2) d2/dt2 + 2td/dt + I.
Областью определения D (A) оператора A будем считать совокупность всех функций f со следующими
свойствами: f и f'- - абсолютно непрерывны на отрезке [-1,1], Af е H. Спектр оператора составляют
числа Ап = 1 + n (n + 1), n е N U {0}, а соответствующими собственными функциями, образующими
в H ортонормированный базис, являются xn = c-1 Pn, где Pn — многочлены Лежандра, cn = ||Pn||,
/1 ½ || ¦ || = I / | ¦ |2 dt j — норма в H.
Пусть В — оператор умножения на функцию p е L0(-1,1), причем B и е & gt- 0 такие, что
e||p|U & lt- min |Аг+1 — Аг|/2 = |А1 — А0|/2 = 1,
i
где ||p||0 = essentialsup |p (t)|. Тогда оператор C (е) = A + еВ — самосопряженный, имеет простой te (-1,1)
спектр и ядерную резольвенту в H.
Пусть n =10, m = 10, е = 0. 25, а функция p (t) = -2t4 + 4t3 — 3t + 2. Поэтому e||p||o & lt- 1, h = е/m = 0. 025.
Поступая по аналогии с предыдущими примерами, получим
А0(0. 25) и А010 = 1. 39 155 094 610 708 472 634 793 787 392, Х0(0. 25) и X-10(10,0. 25) = 0. 8 765 602 178 534 476 754 341 330 9444t+ +0. 37 453 986 911 871 359 977 626 009 6004t2 — 0. 55 536 211 875 002 470 866 488 393 7283t3+ +0. 13 586 710 704 303 716 043 598 069 7602t4 — 0. 496 215 844 706 042 588 065 431 5522t5+ +0. 1 906 527 196 670 689 336 254 005 2483t6 — 0. 736 477 994 026 766 448 212 312 0646t7+ +0. 110 913 595 492 155 285 053 636 6089t8 — 0. 38 353 882 483 806 107 485 601 7925t9+ +0. 17 955 566 717 615 162 680 934 4000t10 + 0. 690 720 016 035 003 140 841 188 360 192, ||го0| := ||C (0. 25) X-10(10,0. 25) — А010Х-10(10,0. 25)|| & lt- 0. 51. Пример 4. Возмущенный квадрат оператора Лагерра.
Рассмотрим действующий в весовом СГП H = LWf (0, го), w (t) = e-tta, а & gt- -1, а = 0, оператор A = M2, где M := -td2/dt2-(а+1-t)d/dt+I. Областью определения D (A) оператора A будем считать совокупность всех функций f со следующими свойствами: f, f'-, f'-'- и f'-'-'- - абсолютно непрерывны на любом отрезке неотрицательной части числовой оси, Af е H. Спектр оператора A составляют числа Ап = (1 + n)2, n е N U {0}, а соответствующими собственными функциями, образующими в H ортонормированный базис, являются xn = c-1La, где L^ - многочлены Лагерра, cn = ||La||,
/00 ½
|| ¦ || = 0 e-tta| ¦ |2 dtj — норма в H.
Пусть B — оператор умножения на функцию p е L^(0, го), причем B и е & gt- 0 такие, что e||p|U & lt- min |Ai+i — Ai|/2 = |Ax — Aq|/2 = 3/2,
где = essentialsup |р (?)|. Тогда оператор С (е) = А + еВ — самосопряженный, имеет простой
спектр и ядерную резольвенту в Н.
Пусть п = 10, т = 20, а = 1, функция р (?) = ехр (-?)(?3 — 2?2 + 3? — 1), а е = 1. Поэтому е||р|и & lt- 3/2, к = е/т = 0. 05.
Действуя по аналогии с предыдущими примерами, получим
Ао (1) ~ А020 = 1. 62 001 614 319 061 258 056 169 947 136, хо (1) ~ Х20(10,1) = -0. 52 640 007 616 461 356 017 481 940 992^+ +0. 12 732 364 063 459 791 702 444 736 512?2 — 0. 204 673 650 450 553 752 054 916 972 544?3+ +0. 44 652 270 392 081 657 949 585 408?4 — 0. 7 473 792 690 780 671 832 603 230 208?5+ +0. 756 682 745 671 286 903 537 664? е — 0. 45 535 437 726 594 012 935 094 272? т+
+0. 159 476 959 885 918 240 7686t8 — 0. 29 901 461 822 146 942 464 950 272 ¦ 10
-9 9
t9+
лиза. М.: Наука, 1981. 384 с.
4. Смирнов В. И. Курс высшей математики: в 5 т. Т. 2. М.: Наука, 1967. 656 с.
5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос. изд-во ТТЛ, 1953. 468 с.
+0. 230 941 905 674 454 302 720¦10−11 ¦ ?10 + 0. 768 981 445 312 051 864 814 103 822 336,
||ето|| := ||С (1)Х20(10,1) — А020Х20(10,1)|| & lt- 0. 0223.
Описанный метод обладает достоинством: его нетрудно реализовать на практике, используя компьютерные математические пакеты, а контролировать методом невязок.
Библиографический список
1. Дородницын А. А. Избранные научные труды: в 2 т. ральных уравнений с дополнительными главами ана-Т. 1. М.: ВЦ РАН, 1997. 396 с.
2. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2001. 382 с.
3. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интег-
УДК 517. 5
МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ
А.А. Нурмагомедов
Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, кафедра прикладной математики E-mail: alimn@mail. ru
В работе исследуются асимптотические свойства многочленов pn (t), ортогональных с весом Atj на произвольных сетках, состоящих из конечного числа N точек отрезка [-1,1]. А именно установлена асимптотическая формула, в которой при возрастании n вместе с N асимптотическое поведение этих многочленов близко к асимптотическому поведению многочленов Лежандра. Кроме того, исследованы аппроксимативные свойства сумм Фурье по этим многочленам.
Ключевые слова: многочлен, ортогональная система, сетка, вес, весовая оценка, асимптотическая формула, приближение.
Polynomials, Orthogonal on Non-Uniform Grids A.A. Nurmagomedov
Dagestan State Pedagogical University, Makhachkala, Chair of Applied Mathematics E-mail: alimn@mail. ru
Asymptotic properties of polynomials pn (t), orthogonal with weight Atj on any finite set of N points from segment [-1,1] are investigated. Namely an asymptotic formula is proved in which asymptotic behaviour of these polynomials as n tends to infinity together with N is closely related to asymptotic behaviour of the Lasiandra polynomials. Furthermore are investigated the approximating properties of the sums by Fourier on these polynomials.
Key words: polinomial, ortogonal system, set, weight, weighted estimate, asymptotic formula, approximation.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой