Поведение показателей Ляпунова линейных систем при малых возмущениях

Тип работы:
Диссертация
Предмет:
Физико-математические науки
Страниц:
92
Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Одним из главных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей, которые были введены А. М. Ляпуновым [18] в связи с изучением устойчивости по первому приближению.

Каждая система, состоящая из п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка и называемая п-мерным уравнением, имеет п показателей Ляпунова [2, 13], занумерованных в порядке нестрогого возрастания. Если старший (п-й) показатель Ляпунова отрицателен, то нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво, если положителен, то нулевое решение неустойчиво. Аналогично, г-й показатель характеризует условную устойчивость относительно г-мерного подпространства.

В обширных библиографических обзорах Н. А. Изобова [14, 16] отражено интенсивное развитие теории линейных систем, которое привело к созданию ряда новых характеристик асимптотического поведения решений, связанных с показателями Ляпунова или с исследованием решений на устойчивость.

Из результатов работы О. Перрона [39] следует, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве п-мерных уравнений с равномерной на положительной полуоси нормой, имеет точки разрыва. Вследствие этого в теории характеристических показателей появилось направление, состоящее в исследовании устойчивости показателей Ляпунова при малых возмущениях коэффициентов уравнения.

Р. Э. Виноградом были введены верхний и нижний центральные показатели [4], ограничивающие соответственно сверху и снизу подвижность показателей Ляпунова при малых возмущениях. В. М. Миллионщиковым с помощью разработанного им метода поворотов [21, 22] было установлено [22], что эти границы подвижности являются точными. Для каждого г = 1,., п нижняя и верхняя границы подвижности г-го показателя Ляпунова называются соответственно минимальным и максимальным г-ми показателями.

Минимальные и максимальные показатели отвечают за стабилизиру-емость и дестабилизируемость уравнения. Например, если минимальный старший показатель неположителен, то уравнение стабилизируемо равномерно малыми возмущениями, то есть в сколь угодно малой (в смысле равномерной топологии) окрестности этого уравнения существует уравнение с устойчивым нулевым решением. Если же минимальный старший показатель положителен, то уравнение не стабилизируемо такими возмущениями. С другой стороны, если максимальный старший показатель уравнения неотрицателен, то уравнение дестабилизируемо равномерно малыми возмущениями, а если отрицателен — не дестабилизируемо. Аналогичную роль, но по отношению к условной устойчивости, играют минимальные и максимальные показатели остальных показателей Ляпунова.

Из результатов работ Р. Э. Винограда [4] и В. М. Миллионщикова [22] следует, что минимальный младший показатель совпадает с нижним центральным, а максимальный старший — с верхним центральным показателями уравнения.

В работе И. Н. Сергеева [37] показано, что множеством частичных пределов младшего показателя Ляпунова является множество всех значений, заключенных между минимальным и максимальным младшими показателями.

В теории показателей Ляпунова наряду с равномерно малыми возмущениями рассматриваются еще и бесконечно малые возмущения, то есть убывающие к нулю при неограниченном увеличении времени. Известно [2, 30, 31], что все минимальные и максимальные (следовательно, и центральные) показатели не меняются при бесконечно малых возмущениях. С точки зрения показателей Ляпунова любое бесконечно малое возмущение можно считать сколь угодно малым, но сколь угодно малое возмущение нельзя считать бесконечно малым. И. Н. Сергеевым установлено [29, 31, 32, 38], что во множестве бесконечно малых возмущений достижимы все максимальные, а также первый и второй минимальные показатели.

Другим направлением в теории показателей Ляпунова, начало которому положил В. М. Миллионщиков, является использование классификации Бэра разрывных функций [3, 24]. В. М. Миллионщиков доказал [23], что показатели Ляпунова, рассматриваемые как функционалы на пространстве уравнений с равномерной топологией, принадлежат второму классу Бэра, а М. И. Рахимбердиев установил [27], что показатели Ляпунова не принадлежат первому классу Бэра. Таким образом, показатели Ляпунова принадлежат в точности второму классу Бэра, рассматриваемые как функционалы на всем пространстве уравнений.

Кроме того, из работы И. Н. Сергеева [33] следует, что два младших показателя не могут иметь локально в точности первый класс Бэра, то есть в любой окрестности каждой точки они либо принадлежат нулевому классу Бэра (то есть непрерывны), либо в точности второму. Однако, как функции параметра, от которого непрерывно зависят коэффициенты уравнения, показатели Ляпунова могут принадлежать любому (нулевому, первому или второму) классу Бэра, что установлено в работах [34, 27].

Зависимость от параметра различных функционалов является предметом исследований многих авторов. Например, Н. А. Изобовым и Е. К. Макаровым [15, 19, 20] изучалось свойство правильности уравнения. В этих статьях приведены семейства уравнений с линейной зависимостью от параметра, на которых характеристическая функция множества правильных уравнений (как функция параметра) принадлежит в точности первому классу Бэра и в точности второму классу Бэра.

И. Н. Сергеев построил семейства уравнений с одинаковой зависимостью от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности [34, 35]. В его докладе [34] приведено семейство уравнений со ступенчатой зависимостью от параметра всех показателей Ляпунова и характеристической функции множества правильных уравнений, а в работе [35] - семейство уравнений с разрывной во всех точках зависимостью от параметра тех же функционалов. Оба эти семейства являются непрерывными по параметру в смысле равномерной на полупрямой нормы. В статье [36] построены две подобные лучу кривые с общим началом. Вдоль одной кривой зависимости от параметра, порожденные любым из показателей Ляпунова и характеристической функцией множества правильных уравнений, носят ступенчатый характер, а вдоль другой кривой — разрывны в каждой точке.

Основные результаты диссертации.

В первой главе настоящей работы представлены результаты о поведении показателей Ляпунова под действием бесконечно малых возмущений.

Установлено, что каждый (& iquest--й) показатель Ляпунова подвижен вверх на любое наперед заданное число вплоть до максимального (& iquest--го) показателя. В доказательстве этого факта использован метод поворотов В. М. Милли-онщикова [21, 22] и идеи, заимствованные из работы [31].

Сдвиги вверх старшего и младших показателей основаны на разных соображениях. Увеличение старшего показателя достигается за счет поворотов некоторого решения на другое — быстрое решение. Увеличение младших показателей обеспечивается отсутствием интегральной разделенности между пространством & iquest--го показателя и каким-то подпространством решений старших показателей. Сложность построения возмущенного уравнения заключается в том, что надо следить за ростом не одного решения, а целого & iquest--мерного подпространства решений.

Другим результатом, изложенным в первой главе, является доказательство того, что два младших показателя под действием бесконечно малых возмущений могут принимать любые значения, заключенные между соответствующими минимальным и максимальным показателями. Из последнего утверждения следует, что множество значений, принимаемых двумя младшими показателями под действием сколь угодно малых возмущений, совпадает с множеством значений, принимаемых этими показателями под действием бесконечно малых возмущений. При доказательстве использовались результаты И. Н. Сергеева о достижимости во множестве бесконечно малых возмущений двух младших показателей [31, 38].

Во второй главе диссертационной работы представлены результаты исследования множества частичных пределов показателей Ляпунова.

В докладе И. Н. Сергеева [37] поставлены две задачи.

Первая. Верно ли, что для каждого г — 2,., п в любой окрестности любого уравнения существует такое уравнение, у которого г-й показатель Ляпунова равен любому наперед заданному числу между минимальным и максимальным & iquest--ми показателями исходного уравнения?

Вторая. Верно ли, что для каждого г = 1,., п в любой окрестности любого уравнения существует такая непрерывная (гладкая) кривая, проходящая через данную точку, что г-й показатель Ляпунова, рассматриваемый как функция параметра кривой, монотонно пробегает все значения между минимальным и максимальным & iquest--ми показателями исходного уравнения?

Отметим, что случай г = 1 для первой задачи разобран в упомянутой работе [37].

В диссертационной работе получен утвердительный ответ на первую задачу в случаях г = 2 и г = п, получен частичный ответ на первую задачу для остальных г и частично решена вторая задача для старшего (г = п) и двух младших (г = 1, 2) показателей (требование монотонности обеспечить не удалось).

В третьей главе данной работы строятся семейства уравнений с различными зависимостями от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности.

Доказано существование бесконечно-дифференцируемого по параметру (в смысле равномерной на положительной полуоси нормы) семейства уравнений со ступенчатой зависимостью от параметра всех показателей Ляпунова и характеристической функции множества правильных уравнений. Для каждых двух уравнений построенного семейства одно получается бесконечно малым возмущением другого.

Построено уравнение, в любой окрестности которого существуют три семейства уравнений, линейно зависящие от параметра и имеющие общую начальную точку: на одном семействе старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функция параметра семейства, является непрерывным, на другом — принадлежит в точности первому классу Бэра, на третьем семействе показатель разрывен в каждой точке и, следовательно, принадлежит в точности второму классу Бэра. Эти семейства объединяют все возможные зависимости от параметра показателя Ляпунова в смысле классификации Бэра.

Автор глубоко признателен доктору физико-математических наук Игорю Николаевичу Сергееву за научное руководство, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

1. Былое Б. Ф. Приведение к блочно-треугольному виду и необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейных систем дифференциальных уравнений / / Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 2. С. 243 — 252.

2. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости // М.: & quot-Наука"-. 1966.

3. Бэр Р. Теория разрывных функций // М. -Л.: ГТТИ. 1932.

4. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Математический сборник. 1957. 42. С. 207 — 222.

5. Гришин С. А., Розов Н. Х. Метод поворотов решений в задаче стабилизации неустойчивых положений равновесия линейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1975, № 12. С. 18 — 26.

6. Дементьев Ю. И. О классах Бэра показателей Ляпунова систем, линейно зависящих от параметра // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 11. С. 1579.

7. Дементьев Ю. И. Пример гладкого семейства линейных систем со скачком свойства правильности и всех показателей Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № И. С. 1580 /'www.gdz-mir.ru', 5/.

8. Дементьев Ю. И. О классах Бэра старшего показателя Ляпунова систем, линейно зависящих от параметра // Научный вестник МГТУ ГА. Серия Математика. 1999. № 16. С. 5 — 10.

9. Дементьев Ю. И. О значениях младшего показателя Ляпунова вдоль кривых в окрестности данной системы // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 6. С. 848.

10. Дементьев Ю. И. Пример ступенчатой зависимости от параметра показателей Ляпунова на бесконечно-дифференцируемом семействе кривых // Научный вестник МГТУ ГА. Серия Физика и математика. 2001. № 42. С. 25 — 30.

11. Дементьев Ю. И. Подвижность показателей Ляпунова под действием бесконечно малых возмущений // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 11. С. 1575.

12. Дементьев Ю. И. Частичные пределы показателей Ляпунова и их достижимость на кривых в окрестности данной системы / / Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 11. С. 1577.

13. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости // М.: Издательство Московского университета. 1998.

14. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т. 12. С. 71 — 146.

15. Изобов H.A., Макаров Е. К. О неправильных по Ляпунову линейных системах с параметром при производной // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 11. С. 1870 — 1880.

16. Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29, № 12. С. 2034 — 2055.

17. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа // М.: & quot-Наука"-. 1981.

18. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Ч.: «Меркурий-Пресс». 2000.

19. Макаров Е. К. О множествах неправильности линейных систем с параметром при производной // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 12. С. 2091 — 2098.

20. Макаров Е. К. О линейных системах с множествами неправильности полной меры // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 2. С. 209 — 212.

21. Миллионщиков В. М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Математические заметки. 1968. Т. 4, № 2. С. 173 — 180.

22. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10, № 1. С. 99 — 104.

23. Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 8. С. 1408 — 1416.

24. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной // СПб.: & quot-Лань"-. 1999.

25. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // М.: & quot-Наука"-. 1982.

26. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия // М.: & quot-Наука"-. 1979.

27. Рахимбердиев М. И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Математические заметки. 1982. Т. 31, № 6. С. 925 — 931.

28. Рахимбердиев М. И. О центральных показателях линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 2. С. 253 — 259.

29. Сергеев И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 3. С. 438 — 448.

30. Сергеев И. Н. Инвариантность центральных показателей относительно возмущений, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 9. С. 1719.

31. Сергеев И. Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Выпуск 9. С. 111 — 166.

32. Сергеев И. Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1986. Выпуск 11. С. 32 — 73.

33. Сергеев И. Н. О локальных классах Бэра остаточных функционалов // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 11. С. 1574.

34. Сергеев И. Н. Пример ступенчатой зависимости от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности систем // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 6. С. 854 — 855.

35. Сергеев И. Н. Пример одновременной всюду разрывной зависимости от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности системы // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 11. С. 1573.

36. Сергеев И. Н. О различной параметрической зависимости показателей вдоль кривых с общим началом // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 6. С. 854 — 855.

37. Сергеев И. Н. Частичные пределы показателей Ляпунова линейной системы и вопросы их достижимости // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 6. С. 858.

38. Сергеев И. Н. О достижимости минимальных показателей в классе бесконечно малых возмущений // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2000. № 3. С. 61 — 63.

39. Perron О. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Mathematische Zeitschrift. 1930. Bd. 32, Hft. 5. S. 703 — 728.

Показать Свернуть

Содержание

§ 1. Формулировки основных результатов

§ 2. Используемые обозначения

Глава I. Бесконечно малые возмущения

§ 3. Определения и свойства

§ 4. Вспомогательные утверждения

§ 5. Подвижность старшего показателя.

§ 6. Подвижность младших показателей

§ 7. Основные утверждения

Глава II. Частичные пределы показателей Ляпунова

§ 8. Множество частичных пределов.

§ 9. Достижимость частичных пределов на гладких кривых в окрестности данного уравнения

Глава III. Уравнения, зависящие от параметра.

§ 10. Ступенчатая зависимость от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности

§ 11. Классы Бэра старшего показателя Ляпунова уравнения, линейно зависящего от параметра

Заполнить форму текущей работой